广东省广州市白云艺术中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-16 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题：5分，共40分

1. 已知复数 $z = (1 + 2 i) (1 - i)$ （i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 互相垂直，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的关系（）

A、共线 B、垂直 C、不垂直也不平行 D、都有可能

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3. 如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 中对角线 $A C$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5$

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4. 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $\frac{32}{3}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $s i n A : s i n B : s i n C = 2 : 3 : 4$ ，则 $c o s C =$ ( )

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为AB的中点，E为CD的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，以向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为基底，则向量 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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7. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知 $A B = 8 cm$ ， $C D = 2 cm$ ，则该青铜器的体积为（）

A、 $87 \sqrt{2} {πcm}^{3}$ B、 $\frac{87 \sqrt{2} π}{4} {cm}^{3}$ C、 $\frac{43 \sqrt{2} π}{2} {cm}^{3}$ D、 $43 \sqrt{2} {πcm}^{3}$

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8. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $B D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且满足 $M P / /$ 平面 $C N D_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 可以是棱 $B B_{1}$ 的中点 B、线段 $M P$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹是正方形 D、点 $P$ 轨迹的长度为 $2 + \sqrt{5}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，都分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{a} = (- 4, 3), \vec{b} = (7, 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、与向量 $\vec{a}$ 平行的单位向量仅有 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5 \sqrt{5}$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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10. 设 $z$ 为复数( $i$ 为虚数单位)，下列命题正确的有（）

A、复数 $z = 3 - 2 i$ 的共轭复数的虚部为 $2$ B、若 $z^{2} \in R,$ 则 $z \in R$ C、若 $(1 + i) z = 1 - i,$ 则 $| z | = 1$ D、若 $z^{2} + 1 = 0,$ 则 $z = i$

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11. 如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（）

A、ED与NF所成的角为 $60 °$ B、 $C N / /$ 平面AFB C、 $B M / / D E$ D、平面 $B D E / /$ 平面NCF

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，

12. 已知向量 $\vec{B C} = (3, 1), \vec{A C} = (2, 3), \vec{A D} = (m, - 3)$ ，若B，C，D三点共线，则 $m =$ ．

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13. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为 $30 °$ ，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为 $50 °$ ，则小明同学求出泉标的高度约为米.
（参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.342$ ， $\sin 50 ° \approx 0.766$ ， $\sin 80 ° \approx 0.985$ ）

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14. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 $A B = B C = 1, A C = \sqrt{3}$ ，则球的表面积是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说面、证明过程或演算步骤

15. 已知复数 $z = (1 + i) m^{2} - 3 i m + 2 i - 1$ ， m为实数．

(1)、若z是纯虚数，求m的值；

(2)、若 $z > 2$ ，求m的值；

(3)、若 $m = 0$ ﹐求 $| \frac{z}{1 - i} |$ 的值．

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16. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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17. 在 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} - b^{2} - c^{2} + b c = 0$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 8, A C = 6, ∠ B A C = 90 °$ ， D是BC边的中点， $∠ A_{1} C A = 45 °$ ．

(1)、求直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、求证： $A_{1} C / /$ 面 $A B_{1} D$ ．

(3)、一只小虫从点 $A_{1}$ 沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．

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19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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