广东省广州市真光中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-04-28 类型：期中考试

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一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（）

A、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f (2) - f (1) < 0$ B、 $f^{'} (2) < f (2) - f (1) < f^{'} (1) < 0$ C、 $f^{'} (1) < f (2) - f (1) < f^{'} (2) < 0$ D、 $f (2) - f (1) < f^{'} (1) < f^{'} (2) < 0$

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2. 下列导数运算正确的是（）

A、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x}$ C、 $(\log_{2} x)^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$

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3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（）

A、都是 $\frac{1}{4}$ B、都是 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{4}$

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4. 中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成 $8$ 个区域，每个区域分别印有数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $\dots$ ， $8.$ 现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域 $($ 如区域 $1$ 与区域 $5)$ 所涂颜色相同．若有 $6$ 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）

A、 $550$ 种 B、 $630$ 种 C、 $720$ 种 D、 $840$ 种

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5. 如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ ，则 $C_{4} =$ （）

A、 $\frac{64}{9}$ B、 $\frac{128}{9}$ C、 $\frac{64}{27}$ D、 $\frac{128}{27}$

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6. 已知直线 $y = k x + b$ 既是曲线 $y = \ln x$ 的切线，也是曲线 $y = - \ln (- x)$ 的切线，则（　　）

A、 $k = \frac{1}{e}$ ， $b = 0$ B、 $k = 1$ ， $b = 0$ C、 $k = \frac{1}{e}$ ， $b = - 1$ D、 $k = 1$ ， $b = - 1$

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7. 《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（）

A、240 B、300 C、420 D、540

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 a, x \leq 0 \\ l n x, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，且 $2 x_{2} - x_{1}$ 的最小值为 $l n 2$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{l n (l n \sqrt{2})}{2}$ C、 $- \frac{l n (l n \sqrt{3})}{2}$ D、 $- \frac{e}{2}$

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二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（）

A、若1班不再分配名额.则共有 $C_{20}^{4}$ 种分配方法 B、若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有 $C_{19}^{5}$ 种分配方法 C、若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D、若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法

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10. 如下，某高速服务区停车场中有 $A$ 至 $H$ 共8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（）
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
$F$
$G$
$H$

A、4辆车的停车方法共有1680种 B、4辆车恰好停在同一行的方法有48种 C、2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种 D、相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的方法有336种

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11. 已知 $a > b > 0$ ， $c > d > 0$ ， $\frac{a}{\ln a + 1} = \frac{b}{\ln b + 1} = 1.1$ ， $(1 - \ln c) c = (1 - \ln d) d = 0.9$ ，则（）

A、 $a + b < 2$ B、 $c + d > 2$ C、 $\frac{1}{d} - \frac{1}{c} > a - b$ D、 $a d > 1$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 有两个等差数列 $2$ ， $6$ ， $10$ ， $\dots$ ， $190$ 及 $2$ ， $8$ ， $14$ ， $\dots$ ， $200$ ，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，这个新数列共有项，这个新数列的各项之和为．

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13. $4$ 位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则 $4$ 人拿的都不是自己的帽子方案总数为.（用数字作答）

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x l n x ， x > 0 ， \\ \frac{1}{x} - x ， x < 0 ， \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (f (x)) - a f (x) + 1$ 有唯一零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题:本题共5小题，共77分,解应写出文字说明、证明过程成演算步骤.

15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2} (a, b \in R)$ ，若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值10，.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、方程 $f (x) = m$ 在 $x \in [0, 2]$ 有解，求实数 $m$ 的范围.

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17. 已知在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前3项系数的绝对值成等差数列，求：

(1)、展开式中二项式系数最大项的项；

(2)、展开式中系数最大的项；

(3)、展开式中所有有理项．

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18. 学校里的生物园地由矩形 $O A B C$ 与扇形 $O C D$ 组成， $O A = 2 m$ ， $A B = 2 \sqrt{3} m$ ， $∠ C O D = \frac{π}{3}$ ，生物园地从 $O$ 点出水喷洒灌溉，喷洒张角 $∠ E O F = \frac{π}{3}$ ，阴影部分为可灌溉范围，点 $E$ 在弧 $C D$ 上，点 $F$ 在线段 $A B$ 上，设 $∠ F O C = θ$ ，可灌溉范围的面积为 $S$ .

(1)、求灌溉面积 $S$ 关于 $θ$ 的关系式，并求出 $θ$ 的范围；

(2)、求灌溉面积 $S$ 取得最大值时 $\sin θ$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{x} - a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a \geq e$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数，并证明结论；

(3)、不等式 $a f (x) + a^{2} (\ln x + \frac{1}{x}) \leq \ln x - x + 1$ 在 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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$A$	$B$	$C$	$D$
$E$	$F$	$G$	$H$