浙江省衢温5+1联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学学科试题

试卷更新日期：2024-05-01 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ， $A = \{1, 3, 5, 6\}$ ， $B = \{1, 4, 8\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （　　）

A、 $\{1, 2, 4, 7, 8\}$ B、 $\{4, 8\}$ C、 $\{3, 4, 5, 6, 8\}$ D、 $\{1\}$

查看试题解析
2. 抛物线 $y ^{2} = 4 x$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

查看试题解析
3. 已知 $z = \frac{2 + i}{1 + 2 i}$ ，则|z|²＝（　　）

A、 $\frac{1}{5}$ B、1 C、2 D、5

查看试题解析
4. 已知m，n，l是三条互不重合的直线， $α, β$ 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）

A、若 $m ⊥ l, n ⊥ l,$ 则 $m // n$ B、若 $m // n, n \subset α,$ 则 $m // α$ C、若 $m ⊥ α, n \subset α,$ 则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β, m \subset α,$ 则 $m ⊥ β$

查看试题解析
5. 若α为锐角，且 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则cos2α＝（　　）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{7}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

查看试题解析
6. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) < 0$ 对任意的 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 都成立，设 $a = f (\log_{2} 3), b = f (\log_{5} 4), c = f (\sqrt{2})$ ，则（　　）

A、 $b > a > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

查看试题解析
7. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量．在综合实践活动中，某小组自制了一个圆台形雨量收集器（大口向上无盖，不考虑厚度）如图，两底面直径 $A B = 25 cm ， C D = 10 cm ，$ 高为 $15 cm$ ．在一次降雨过程中，利用该雨量器收集的雨水高度是 $10 cm$ ，则该雨量器收集的雨水体积（ ${cm}^{3}$ ）为（　　）

A、 $250 π$ B、 $\frac{1750 π}{3}$ C、 $\frac{3125 π}{2}$ D、 $\frac{7000 π}{3}$

查看试题解析
8. 在△ABC中，BC＝2， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足 $\vec{P B} \cdot \vec{P D} = \vec{P C} \cdot \vec{P D}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B C}$ 的最大值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ 的平均数为2024，则（　　）

A、 $2024, x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的平均数 B、 $2024, x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的中位数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的中位数 C、 $2024, x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的标准差不小于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的标准差 D、 $2024, x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的极差等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的极差

查看试题解析
10. （多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在ts时相对于平衡位置的高度h（单位： $c m$ ）由关系式 $h = 2 \sin （ ω t + φ ）， t \in [0, + \infty ）$ 确定，其中 $ω ＞ 0 ， φ \in （ 0, π] ．$ 小球从最高点出发，经过 $1.8 s$ 后，第一次到达最低点，则（　　）

A、 $ϕ = \frac{π}{4}$ B、 $ω = \frac{5 π}{9}$ C、 $t = 2.7 s$ 时，小球运动速度最快 D、 $t = 20 s$ 时，小球向下运动

查看试题解析
11. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (1 - x) + g (x) = 3$ ， $g (- 2) = 2$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数， $g (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $g (x)$ 为奇函数 C、 $f (- 1) = - 1$ D、 $g (x)$ 关于 $x = 1$ 对称

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分共15分.

12. 若二项式 ${(2 x + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是160，则实数 $a =$ ．

查看试题解析
13. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子非空，则不同的放法有种．

查看试题解析
14. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且 $\vec{M F} = \frac{1}{2} \vec{F A}$ ，若 $∠ A F N = \frac{π}{3}$ ， $|F A| = \frac{2}{3} |F N|$ ，则椭圆C的离心率为．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}, a_{2}, 16$ 成等比数列， $a_{3} = 3 a_{1} + a_{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{50}$ 的值．

查看试题解析
16. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为2的菱形且 $∠ B A D = 60 °$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影为边 $A D$ 的中点 $E$ ，点 $F, G$ 分别为边 $B C, D D_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $F G / /$ 平面 $B_{1} B E$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A B$ ，求直线 $B_{1} C$ 与平面 $B_{1} B E$ 所成角．

查看试题解析
17. 已知 $f (x) = x - \ln x + m (\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{1}{2}, f (\frac{1}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、当 $m > 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间．

查看试题解析
18. 新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项，题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．

(1)、若某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，写出该生所有选择结果构成的样本空间 $Ω$ ，并求该考生得正分的概率；

(2)、若某道多选题的正确答案是ABD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项；在某考生此题已得正分的条件下，求该考生得4分的概率；

(3)、若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等 ，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．

查看试题解析
19. 已知 $A (- 2, 0), B (2, 0), P (x, y)$ ，且 $||P A| - |P B|| = 2$ ，点P的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、直线l： $y = k x$ 与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若 $△ T M N$ 是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若 $|T M| = |T N|$ ，求 $△ T M N$ 面积的取值范围．

查看试题解析