湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-20 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合 $A= \{1,2,3\}, B = \{1,2,6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1,2,3,6\}$ B、 $\{3,6\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{1, 2\}$

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2. 若复数 $z = 3 + i$ ，则 $z$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- 1$ C、 $- i$ D、 $1$

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3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} / / B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} C^{'} = 3$ ，则该平面图形的高为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、3 C、 $6$ D、 $6 \sqrt{2}$

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4. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b = 3$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{39}$

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5. 孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛．常德立德中学高一学生为了测量塔高 $A B$ ，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测量得 $∠ C D B = 120^{°}, C D = 60$ 米，在点 $C, D$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角分别为 $30^{°}, 45^{°}$ ，则孤峰塔高 $A B =$ （）

A、 $60$ 米 B、 $60 \sqrt{2}$ 米 C、 $60 \sqrt{3}$ 米 D、 $30 \sqrt{2}$ 米

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6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是 $1 %$ 的前提下，我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作是经过365天的“进步值”， ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据： $\lg 101 \approx 2.0043$ ， $\lg 99 \approx 1.9956$ ）

A、100 B、230 C、130 D、365

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7. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B A} \cdot \vec{A C} + {\vec{A C}}^{2} = 0$ ， $\frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} \cdot \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰直角三角形 B、三边均不相等的三角形 C、等边三角形 D、等腰（非直角）三角形

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8. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点 $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，点 $A$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{6}$ ．点 $B$ 是直线 $l_{2}$ 上一个动点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ A B$ ，点 $E, F$ 在线段 $B C$ 上运动（包括端点）且 $E F = 1$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为（）

A、 $3$ B、 $\frac{11}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7}{4}$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 下列说法正确的是（）

A、空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件 B、在复数集 $C$ 中，方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 有两个解，依次为 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $A \in α, A \in β$ ，则 $α \cap β = A$ （ $α, β$ 为平面， $A$ 为点） D、 $\forall a \in R$ ，二次函数 $y = x^{2} + a$ $(x \in R)$ 为偶函数

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10. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的函数是奇函数 D、 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上的零点有4个

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11. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $A A_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $F G$ 与 $E B$ 是共面直线 B、如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、过 $A$ ， $B_{1}$ ， $D_{1}$ 三点作一个截面，截得的几何体 $A_{1} - A B_{1} D_{1}$ 的体积 $\frac{4}{3}$ D、若在 $A D_{1}$ 上存在一点 $M$ 使得 $A_{1} M + M C$ 最小，最小值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. 角 $α$ 的终边上有一点 $P (3, - 2)$ ，则 $\sin α =$

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13. 圆锥的侧面展开图是半径为 $R$ 的半圆，则该圆锥的体积为.

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14. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c = 10, b = 6, A = 120^{\circ}$ ， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心， $\vec{e}$ 为与 $\vec{C B}$ 同向的单位向量，则 $\vec{C I}$ 在 $\vec{C B}$ 上的投影向量为（用 $\vec{e}$ 表示）

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 3, (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 8$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直?

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ 且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{3} a c$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c - b = 2 b \cos A$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $B D = 1$ ，求 $a$ .

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17. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 $60cm$ 的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.

(1)、求石凳的体积与原正四面体的体积之比；

(2)、为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} (\sin^{2} x - \cos^{2} x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $α$ 是锐角，且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{8}{5}$ ，求角 $α$ 的正弦值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $f (A) = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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19. 对于函数 $f (x)$ ， $h (x)$ ，如果存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 使得 $h (x) = a f (2 x) + b f (x) + c$ ，那么称函数 $h (x)$ 为 $f (x)$ 的“重组函数”

(1)、已知 $f (x) = e^{x} + 1$ ， $h (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ ，是否存在实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 使得 $h (x)$ 是 $f (x)$ 的重组函数？若存在，求出 $a$ ， $b$ ， $c$ ；若不存在，试说明理由．

(2)、当 $a = 1, b = - 2, c = - 3$ ， $f (x) = 2^{x} + 1$ 时，求 $f (x)$ 的重组函数 $h (x)$ 的值域．

(3)、当 $a = 1, c = 2$ ， $f (x) = 2^{x} + 1$ 时， $f (x)$ 的重组函数 $h (x)$ 有唯一的零点，求实数 $b$ 的取值范围．

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