广东省2024届高三下学期2月大联考数学试题

试卷更新日期：2024-03-03 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} \leq 5\}, B = \{- 3, - 2, - 1, 0, \frac{1}{2}, 1\}$ ，则 $A \cup B$ 中元素的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 1, \cos A = \frac{5}{6}$ ，则 $B C =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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3. 若 ${(a - 2 b)}^{20} = x_{0} a^{20} + x_{1} a^{19} b + x_{2} a^{18} b^{2} + \dots + x_{19} a b^{19} + x_{20} b^{20}$ ，则 $x_{19} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 20 \times 2^{19}$ C、 $- 2^{19}$ D、 $20 \times 2^{19}$

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4. 若 $\sin α = - \frac{\sqrt{3}}{2}, α \in (- \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2})$ ，则 $α =$ （）

A、 $- \frac{2 π}{3}$ B、 $- \frac{3 π}{4}$ C、 $- \frac{5 π}{4}$ D、 $- \frac{4 π}{3}$

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5. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x^{2}) = - f (- x^{2})$ ，则下列结论一定正确的为（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称

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6. 已知点P是曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 在第一象限内的一点，A为 $Γ$ 的左顶点，R为PA的中点，F为 $Γ$ 的右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为 $\sqrt{5}$ ，则 $△ P A F$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{10} + \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10} - \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{2} + 3$ D、 $3 \sqrt{2} - 3$

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7. 在某电路上有 $C, D$ 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为 $0.1$ ，则在某次通电后 $C, D$ 有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{50}$ C、 $\frac{9}{13}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 在各棱长都为2的正四棱锥 $V - A B C D$ 中，侧棱 $V A$ 在平面 $V B C$ 上的射影长度为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 若z满足 $z + \bar{z} = 6, | z | = | z - 2 i |$ ，则（）

A、z的实部为3 B、z的虚部为1 C、 $\frac{z}{3 - i} = \frac{1 - 3 i}{2}$ D、z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3

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10. 已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, - 1), \vec{c} = (x, 2)$ ，则（）

A、若 $x = 0$ ，则存在唯一的实数p，q，使得 $\vec{a} = p \vec{b} + q \vec{c}$ B、若 $x = 1$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、若 $x = 4$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ D、若 $x = 1$ ，则 $\vec{c}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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11. 若过点 $(a, b)$ 可作曲线 $f (x) = x^{2} \ln x$ 的n条切线 $(n \in N)$ ，则（）

A、若 $a \leq 0$ ，则 $n \leq 2$ B、若 $0 < a < e^{- \frac{3}{2}}$ ，且 $b = a^{2} \ln a$ ，则 $n = 2$ C、若 $n = 3$ ，则 $a^{2} \ln a < b < 2 a e^{- \frac{3}{2}} + \frac{1}{2} e^{- 3}$ D、过 $(e^{- \frac{3}{2}}, - 6)$ ，仅可作 $y = f (x)$ 的一条切线

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 如图是一个正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为 $\frac{104 \sqrt{2}}{3}$ ，则侧面积为．

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13. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 n - 6 (n \in N^{*})$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为．

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14. 若圆C与抛物线 $Γ : y = \frac{x^{2}}{6}$ 在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于 $Γ$ 的焦点A，则 $\sin \frac{∠ A C B}{2} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且 $X ~ N (45, 225)$ ．

(1)、请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；

(2)、奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有 $n (0 \leq n \leq 20)$ 个人摸到一等奖的概率为 $P (n)$ ，求当 $P (n)$ 取得最大值时 $n$ 的值．
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P {| X - μ | < σ} = 0.6827, P {| X - μ | < 2 σ} = 0.9545$ ．

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16. 如图，在圆锥 $S O$ 中，若轴截面 $S A B$ 是正三角形，C为底面圆周上一点，F为线段 $O A$ 上一点，D（不与S重合）为母线上一点，过D作 $D E$ 垂直底面于E，连接 $O E, E F, D F, C F, C D$ ，且 $∠ C O F = ∠ E F O$ ．

(1)、求证：平面 $S C O / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $△ E F O$ 为正三角形，且F为 $A O$ 的中点，求平面 $C D F$ 与平面 $D E F$ 夹角的余弦值．

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17. 设函数 $f (x) = \ln x + a (x - 1) (x - 2)$ ，其中a为实数．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $f (x)$ 在定义域内有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2}$ 时，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > \frac{5}{9} + \ln \frac{9}{16}$ ．

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18. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $C_{1} (- 1, 0), C_{2} (1, 0), P (x, y), 4 \vec{C_{1} P} \cdot \vec{C_{2} P} = 3 x^{2}$ ．

(1)、求点P的轨迹C的方程；

(2)、设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，l与C交于A、B两点，点 $M (x_{0}, y_{0}) (x_{0}, y_{0} \neq 0)$ 为弦AB的中点．过点M作l的垂线交C于D、E，N为弦DE的中点．
①证明：l与ON相交；
②已知l与直线ON交于T，若 $\vec{O N} = λ \vec{N T} (λ > 0)$ ，求 $λ$ 的最大值．

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19. 在无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中，令 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} \in \{a_{n}\}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是封闭的．

(1)、试判断：任意一个无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是否是封闭的？

(2)、设 $\{a_{n}\}$ 是无穷等比数列，其首项 $a_{1} = 2$ ，公比为 $q$ ．若 $\{a_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积是封闭的，求出 $q$ 的两个值；

(3)、证明：对任意的无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ ，总存在两个无穷数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ ，使得 $a_{n} = b_{n} \cdot c_{n} (n \in N^{*})$ ，其中 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 对前 $n$ 项之积都是封闭的．

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