四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-24 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. $c o s 15 0^{∘} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知集合 $A = \{x| x < 5\}$ ， $B = \{x| \log_{2} x > 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x| 0 < x < 5\}$ B、 $\{x| 1 < x < 5\}$ C、 $\{x| 2 < x < 5\}$ D、 $\{x| 4 < x < 5\}$

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3. 下列函数既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = \ln x$ C、 $y = 2 - |x|$ D、 $y = \cos 4 x$

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4. 在 $△ A B C$ 中，点D是AB的中点，则（）

A、 $\vec{C D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C}$ B、 $\vec{C D} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C}$ C、 $\vec{C D} = - \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A C}$ D、 $\vec{C D} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A C}$

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5. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量．若 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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6. 中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度 $M N$ ，在越王楼的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为49m，在地面上点 $C$ 处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部 $M$ 的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在A处测得楼顶部 $M$ 的仰角为 $15 °$ ，则越王楼的高度约为（）

A、69m B、95m C、98m D、99m

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $c = 2 a cos B$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、无法确定

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8. 在梯形ABCD中， $A B ∥ D C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A D = A B = 2 D C = 2$ ， E为 $B C$ 的中点，F为 $D C$ 上的动点（含端点），则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$ B、 $(2, \frac{9}{2})$ C、 $[3, \frac{8}{3}]$ D、 $[2, \frac{7}{2}]$

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二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列等式成立的是（）

A、 $\cos^{2} 15^{\circ} - \sin^{2} 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sin \frac{π}{8} \cos \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2} \sin 40^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 40^{\circ} = \sin 70^{\circ}$ D、 $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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10. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为两个非零向量，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{A B} = 3 \vec{B C}$ ，则A、B、C三点共线 B、 $\vec{A B} = (2, - 1), \vec{A C} = (2, 4)$ ，则A、B、C三点共线 C、若 $\vec{O B} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O C}$ ，则A、B、C三点共线 D、若 $\vec{A B} = (1, - 2), \vec{A C} = (2, - 4)$ ，则A、B、C三点共线

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11. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 为奇函数 C、若 $\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{2}$ ，则 $\frac{1}{2} \leq f (x) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{6}, 0)$ 成中心对称

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12. 已知两个单位向量 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ (θ \neq \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{c} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{c}$ 的斜坐标，若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2})$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ C、 $λ \vec{a} = (λ x_{1}, λ y_{1})$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）

13. 已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $2 \vec{a} + \vec{b} =$ .

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14. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{2} + 2 x + a = 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知 $\sin 2 α = \frac{1}{4}$ ，且 $\frac{π}{3} < α < \frac{2 π}{3}$ ，则 $\sin α - \cos α$ 的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{2π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 有且仅有三个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知： $f (α) = \frac{2 \cos^{2} α - \sin 2 α}{2 (\cos α - \sin α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $α$ 是第二象限角，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，求 $f (α + \frac{π}{6})$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $∠ C = \frac{2 π}{3}$ ， $a = 6$ ．

(1)、若 $c = 14$ ，求 $\sin A$ 的值．

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $c$ 的值．

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19. 已知 $\vec{i}, \vec{j}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴方向相同的单位向量， $\vec{a} = \vec{i} - 2 \vec{j} ， \vec{b} = \vec{i} + λ \vec{j}$ ，

(1)、若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于x的方程 $g (x) - 1 = m$ 在 $[0, \frac{π}{2})$ 上恰有一解，求实数m的取值范围．

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21. 在① $2 a \cos C + c = 2 b$ ， ② $\cos^{2} \frac{B - C}{2} - \cos B \cos C = \frac{3}{4}$ ， ③ ${(\sin B + \sin C)}^{2} = \sin^{2} A + 3 \sin B \sin C$ ，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (2 \cdot 4^{x} + 2) + k x$ 为 $R$ 上的偶函数．

(1)、求实数k的值；

(2)、若不等式 $f (x) - \log_{2} a > 0$ 对任意 $x \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数a的范围．

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