四川省嘉祥教育集团2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-05-19 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = (2 + i^{3}) (1 - a i)$ 为纯虚数，则 $| z | =$ ( )

A、 $0$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $5$

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2. 设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / (\vec{a} - μ \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ + μ = 0$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ = 1$ D、 $λ μ = - 1$

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4. 已知 $f (x)$ 为函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得函数，则 $y = f (x)$ 与 $y = x - 1$ 的交点个数为( )

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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5. 若 $c o s (\frac{π}{2} + 2 α) - 4 s i n^{2} α = - 2$ ，则 $t a n 2 α =$ ( )

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ）的部分图象如图所示，其中线段 $B D$ 的中点在 $y$ 轴上，且△ $B C D$ 的面积为 $2 π$ ，则 $f (x)$ 可以为（）

A、 $\sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ B、 $\sin (x + \frac{π}{3})$ C、 $2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ D、 $2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$

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7. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a c o s B - b c o s A = \frac{3}{5} c$ ，则 $\frac{t a n A - t a n B}{t a n B} =$ ( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知 $θ \in (0, \frac{π}{4})$ ，则 $\frac{{s i n}^{4} θ + {c o s}^{4} θ}{{s i n}^{3} θ c o s θ - s i n θ {c o s}^{3} θ}$ 的最大值为( )

A、 $4$ B、 $1$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，凡选错1个答案的，得0分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分.

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、方向为南偏西 $60 °$ 的向量与北偏东 $60 °$ 的向量是共线向量 C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是平行向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若用有向线段表示的向量 $\vec{A M}$ 与 $\vec{A N}$ 不相等，则点 $M$ 与 $N$ 不重合

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10. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x + \frac{1}{s i n (\frac{2 π}{3} - 2 x)}$ ，则（）

A、 $f (x + \frac{π}{2}) = f (x)$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上的最大值为3 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的新图象关于 $y$ 轴对称

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11. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个零点 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 正方形 $A B C D$ 的边长是 $2$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E D} =$ ．

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13. 在凸四边形 $A B C D$ 中，若 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $D A = 4$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，则 $c o s ∠ B C D =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {c o s}^{2} (\frac{5 π}{6} - ω x) + {s i n}^{2} ω x (ω > 0)$ ，若对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |_{m i n} = \frac{π}{4}$ ，则当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $f (x)$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15. 化简： $\frac{\sin 2 α}{2 \cos α} (1 + \tan α \tan \frac{α}{2})$ ，并指出α的取值范围.

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16. （1）已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，求作向量 $\vec{c}$ ，使 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ；
（2）（1）中表示 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 的有向线段能构成三角形吗？说明理由．

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17. 已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = - 2 + i$ ， $z_{3} = - 1 - 2 i$ ，它们所对应的点分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，在复平面上构成一个正方形的三个顶点．

(1)、画出示意图，验证说明 $A B ⊥ B C$ ；

(2)、求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

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18. 已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{\sin A}{\sqrt{3} \sin C}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、若 $\cos B + \sqrt{3} \sin B = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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19. 已知O是 $△ A B C$ 内一点，OA = OB = OC， $\vec{A O} \cdot \vec{O B} = \vec{B O} \cdot \vec{O C} = \vec{C O} \cdot \vec{O A} = 2$ ，动点P满足 $| \vec{A P} | = 1$ ， M是PC的中点．

(1)、判断△ABC的形状，并求△ABC的面积；

(2)、求 $| \vec{B M} |$ 的最大值．

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