广东外语外贸大学附属外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-14 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）

A、 $f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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2. 2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（）

A、6 B、12 C、10 D、14

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3. 函数 $y = (x + 1) e^{x + 1}, x \in [- 3, 4]$ 的最小值为（）

A、 $2 e^{- 2}$ B、 $5 e^{5}$ C、 $4 e^{5}$ D、 $- e^{- 1}$

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4. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 $60 %$ ，乙厂产品占 $40 %$ ，甲厂产品的合格率是 $90 %$ ，乙厂产品的合格率是 $80 %$ ，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（）

A、 $0.54$ B、 $0.32$ C、 $0.84$ D、 $0.86$

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5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件 $A$ 为“取到的2个数之积为偶数”，事件 $B$ 为“取到的2个数之和为偶数”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（）

A、216种 B、108种 C、72种 D、36种

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7. 设函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是定义在同一区间 $[a, b]$ 上的两个函数，若对任意的 $x \in [a, b]$ ，都有 $|f (x) - g (x)| \leq 1$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上是“密切函数”，区间 $[a, b]$ 称为“密切区间”，设函数 $f (x) = ln x$ 与 $g (x) = \frac{m x - 1}{x}$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $[e - 2, 2]$ B、 $[\frac{1}{e}, 2]$ C、 $[\frac{1}{e} - e, 1 + e]$ D、 $[1 - e, 1 + e]$

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8. 若 $e^{x + 2 t} \geq \ln x - 2 t$ 对一切正实数 $x$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty, e]$

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二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 下列说法中不正确的有（）

A、 ${(sin \frac{π}{4})}^{'} = cos \frac{π}{4}$ B、函数 $y = f (x)$ 的切线与函数可以有两个公共点 C、若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 D、函数 $f (x) = x - ln 2 x$ 的减区间为 $(- \infty, 1)$

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10. 下列各式中，不等于 $n!$ 的是（）

A、 $n \cdot A_{n - 1}^{n - 1}$ B、 $A_{n}^{m} \cdot C_{n}^{m}$ C、 $A_{n + 1}^{n + 1}_{}$ D、 $A_{n}^{m} \cdot A_{n - m}^{n - m}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、已知随机变量X，Y，满足 $X + 2 Y = 4$ ，且X服从正态分布 $N (3, 1)$ ，则 $E (Y) = \frac{1}{2}$ B、已知随机变量X服从二项分布 $B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{80}{243}$ C、已知随机变量X服从正态分布 $N (4, 1)$ ，且 $P (X \geq 5) = 0.1587$ ，则 $P (3 < X < 5) = 0.6826$ D、已知随机变量X服从两点分布，且 $P (X = 0) = 0.6, P (X = 1) = 0.4$ ，令 $Y = 3 X - 2$ ，则 $P (Y = - 2) = 0.6$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在 $(x + 1) {(a x + 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为15，则 $a =$ .

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13. 丝瓜的主要用途是作为蔬菜被人们食用，除此之外，丝瓜成熟后里面的网状纤维（丝瓜络）可代替海绵用于洗刷灶具及家具，其肉、籽、花、藤、叶等也具有一定的药用作用．已知一种白玉香丝瓜成熟后的长度近似服从正态分布 $N (20, 9)$ ，某蔬菜种植基地新摘下一批成熟白玉香丝瓜，整理后发现长度在23cm以上（含23 cm）的白玉香丝瓜有320根，则此次摘下的白玉香丝瓜约有根．（结果保留整数，若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

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14. 对于函数 $y = f (x)$ ，若其定义域内恰好存在两个不同的非零实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = \frac{1}{x_{1}} ， f (x_{2}) = \frac{1}{x_{2}}$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为M函数．若函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a}$ 为M函数，则实数a的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ .
（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线的方程；
（2）求函数 $y = f (x)$ 的极值.

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16. 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．

(1)、在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)、在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．

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17. （1）求 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项；
（2）若 ${(1 + x + x^{2})}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{12} x^{12}$ ，求：
① $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{12}$
② $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 12 a_{12}$ .

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18. 某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：
上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）（篮球，篮球）（篮球，乒乓球）（乒乓球，篮球）（乒乓球，乒乓球）
甲 20天 15天 5天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.

(1)、分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；

(2)、记 $X$ 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、假设A表示事件“室外温度低于10度”， $B$ 表示事件“某学生去打乒乓球”， $P (A) > 0$ ，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明： $P (A | B) > P (A | \bar{B})$ .

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19. 设函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x + 1}$ ，其中 $a$ 为常数，且 $a > 0$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）设函数 $F (x) = f (x) + x \ln a$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $F (x_{1}) + F (x_{2}) < 1 - 4 \ln 2$ .

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上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）	（篮球，篮球）	（篮球，乒乓球）	（乒乓球，篮球）	（乒乓球，乒乓球）
甲	20天	15天	5天	10天
乙	10天	10天	5天	25天