浙江省9+1联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-07-19 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. 在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（）

A、1120 B、160 C、 $- 120$ D、 $- 160$

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2. 已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = \frac{5}{6}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (A | B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. 已知可导函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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4. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} + a_{2} + a_{3} = 6, a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、18 B、36 C、54 D、60

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5. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} + 3 \ln x$ 在 $(a, 2 - 3 a)$ 内有最小值，则实数a的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{3}$ B、 $0 \leq a < \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3} < a < 1$ D、 $0 \leq a < \frac{1}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = | \ln x |, x_{1} 、 x_{2}$ 为不相等的两个实数，则“ $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ”是“ $f^{'} (x_{1}) f^{'} (x_{2}) = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（）

A、132 B、144 C、150 D、168

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n} - \frac{S_{n}}{n^{2}} = a_{n - 1} - \frac{S_{n - 1}}{n^{2}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，且关于n的不等式 $λ 2^{n} a_{n} < n (3 n - 1)$ 有3个解，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{21}{8}, \frac{55}{16})$ B、 $(\frac{119}{64}, \frac{21}{8}]$ C、 $[\frac{55}{16}, \frac{15}{4})$ D、 $(2, \frac{21}{8}]$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知随机变量 $X, Y$ 满足 $X \sim B (4, p)$ ，且 $P (X = 0) = \frac{16}{81}$ ，且 $X + 2 Y = 1$ ，则（）

A、 $E (X) = \frac{2}{3}$ B、 $E (Y) = - \frac{1}{6}$ C、 $D (X) = \frac{8}{9}$ D、 $D (Y) = \frac{2}{9}$

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10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

A、2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B、 $C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + C_{6}^{3} + \dots + C_{10}^{3} = 330$ C、记第10行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{11} (i - 1) a_{i} = 5120$ D、记第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} 4^{i - 1} a_{i} = 5^{n}$

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11. 有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前 $n$ 次所得的数字之和是偶数的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{2} = \frac{13}{25}$ B、 $P_{7} > P_{8}$ C、 $\{P_{n} - \frac{1}{3}\}$ 是等比数列 D、 $\{P_{2 n}\}$ 是递减数列

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知随机变量X服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ ，且 $P (4 < X < 6) = 0.4$ ，则 $P (X > 2) =$ ．

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13. 将1，2，3，4，5，6这6个数填入图所示的格子中，要求每个数字都要填入，且每个格子只能填一个数，其中1与2相邻（有公共边的两格子称为相邻）的不同的填法有种（结果用数字作答）．

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14. 已知实数 $a > 0, b \in R$ ，且函数 $f (a, b) = \sqrt{{(a - 2 b)}^{2} + 4 {(\ln a - b^{2})}^{2}} + 2 b^{2}$ ，则函数 $f (a, b)$ 的最小值为．

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + (a - 1) x + e^{- x}$ （ $a \in R, e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数）．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求a的取值范围．

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16. 已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = 16, 2 S_{3} = 8 a_{1} + 3 a_{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1, 3 (b_{1} + b_{2}) + 8 (b_{2} + b_{3}) + \dots + (n^{2} + 2 n) (b_{n} + b_{n + 1}) = 2 \log_{2} a_{n}, n \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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17. 小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．

(1)、求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．

(2)、抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ ，满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3 n - 2, n \in N^{*}$ ，记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \sin \frac{1}{a_{n}}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求证： $b_{n} > 2 \ln (\frac{1}{a_{n}} + 1), n \in N^{*}$ ；

(3)、设数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $2 \ln \frac{n + 2}{2} < S_{n} < 4 (\sqrt{n + 1} - 1), n \in N^{*}$ ．

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19. 药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中．

(1)、药房中共有几味药？

(2)、药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药．
（i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；
（ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．

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