甘肃省兰州新区第一高级中学2024-2025学年高一上学期期末学业水平质量测试数学试卷

试卷更新日期：2025-01-18 类型：期末考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ B、 $\{3, 4, 5\}$ C、 $\{1, 2, 5\}$ D、 $\{3, 4\}$

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2. 函数 $f (x) = lg x + \frac{1}{\sqrt{3 - x}}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, - 3) \cup (0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $(0, 3)$ D、 $[0, 3)$

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3. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 3$ ，那么 $f (- 2)$ 的值是（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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4. 已知 $sin (\frac{π}{2} + φ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $0 < φ < π$ ，则 $tan φ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{x}$ 的一个零点，若 $x_{1} \in (0, x_{0})$ ， $x_{2} \in (x_{0}, + \infty)$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) < 0$ ， $f (x_{2}) < 0$ B、 $f (x_{1}) < 0$ ， $f (x_{2}) > 0$ C、 $f (x_{1}) > 0$ ， $f (x_{2}) < 0$ D、 $f (x_{1}) > 0$ ， $f (x_{2}) > 0$

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6. 设 $a = {0.4}^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{0.4}$ ， $c = {log}_{0.4} 0.2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的函数图象如图所示，则函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 1, x \leq 0 \\ |{log}_{2} x|, x > 0 \end{array}$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 是方程 $f (x) = t$ 的四个互不相等的解，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $(- 2, - \frac{3}{2}]$ D、 $(1, + \infty)$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知 $a > b > c > 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $a - c > b - c$ B、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、 $c^{a} > c^{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 D、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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11. 已知函数 $h (x) = 3 {sin}^{2} x - a sin x - 1 (a \geq 2)$ ，若 $h (x)$ 在区间 $(0, n π) (n \in N_{+})$ 内恰好有198个零点，则 $n$ 的取值可以为（）

A、132 B、133 C、198 D、199

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 命题“ $\forall x > 0$ ， $ln x - x + 1 \geq 0$ ”的否定是.

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13. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y - x y = 0$ ，若 $x + 2 y > m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为.

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14. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} x + 2 x - 6$ 的零点为 $x_{1}$ .若 $x_{1} \in (k, k + 1) (k \in Z)$ ，则 $k$ 的值是；若函数 $g (x) = 4^{x} + x - 3$ 的零点为 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值是.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (3, - 4)$ .

(1)、求 $\frac{sin θ + 2 cos θ}{2 sin θ - cos θ}$ 的值；

(2)、求 $cos θ \sqrt{\frac{1 + sin θ}{1 - sin θ}} + sin θ \sqrt{\frac{1 + cos θ}{1 - cos θ}}$ 的值.

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16. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + 4 (a \neq 0)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，解不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(2, 4)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为 $110 m$ ，转盘直径为 $100 m$ ，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动 $t min$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，转一周大约需要 $30 min$ .

(1)、已知 $H$ 关于 $t$ 的函数关系式满足 $H (t) = A sin (ω t + φ) + B$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{2}$ ），求摩天轮转动一周的解析式 $H (t)$ ；

(2)、若游客在距离地面至少 $85 m$ 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？

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18. 已知函数 $f (x)$ 对于任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - 2$ .

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、当 $- 6 \leq x \leq 8$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、设函数 $g (x) = f (x^{2} - m) - 4 f (|x|)$ ，若方程 $g (x) = 0$ 有4个不同的解，求 $m$ 的取值范围.

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19. 若存在实数对 $(a, b)$ ，使等式 $f (x) \cdot f (a - x) = b$ 对定义域中每一个实数 $x$ 都成立，则称函数 $f (x)$ 为 $H (a, b)$ 型函数.

(1)、若函数 $f (x) = e^{x}$ 是 $H (a, e)$ 型函数，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ 是 $H (a, b)$ 型函数，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(3)、已知函数 $h (x)$ 定义在 $[- 7, 9]$ 上， $h (x)$ 恒大于0，且为 $H (2, 4)$ 型函数，当 $x \in (1, 9]$ 时， $h (x) = - {({log}_{3} x)}^{2} + m \cdot {log}_{3} x + 2$ .若 $h (x) \geq 1$ 在 $[- 7, 9]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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