甘肃省白银市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷

试卷更新日期：2025-01-14 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（）

A、5种 B、6种 C、8种 D、9种

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2. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{39} = 10$ ，则 $a_{20} =$ （）

A、20 B、10 C、 $\sqrt{10}$ D、5

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3. 下列双曲线，焦点在 $y$ 轴上且渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ 的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$

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4. 已知 $C_{16}^{x} = C_{16}^{2 x + 1}$ ，则 $x =$ （）

A、4 B、3 C、5 D、1

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，且 $B D = 3 B C$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $4 \vec{A C} - 3 \vec{A B}$ B、 $3 \vec{A C} - 2 \vec{A B}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $g (x) = f (x) + 2, g (3) = 1$ ，则 $g (- 3) =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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7. 已知 $A (2, 0)$ ， $B (- 1, 1)$ ，动点 $H (x, y)$ 满足 $\sqrt{3} |H A| = \sqrt{2} |H B|$ ，记动点 $H$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 16 x - 4 y + 8 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 8 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 16 x + 4 y + 8 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} + 16 x - 4 y - 8 = 0$

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8. 元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（）

A、1280 B、300 C、1880 D、1560

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分部分选对的得部分分有选错的得0分求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知虚数 $z$ 满足 $\bar{z} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则（）

A、 $z$ 的实部为 $- \frac{1}{2}$ B、 $z$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $|z| = 1$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限

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10. 已知 ${(2 - x)}^{11} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{11}$ B、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11} = 0$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = \frac{1 - 3^{11}}{2}$ D、 $a_{1} + 2^{1} \times a_{2} + 2^{2} \times a_{3} + \dots + 2^{10} \times a_{11} = - 2^{10}$

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11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线 $E : 3 x^{2} + 3 y^{2} - 2 |x y| = 8$ 就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（）

A、曲线 $E$ 关于原点对称，且关于直线 $y = x$ 对称 B、曲线 $E$ 上任意一点到原点的距离都不超过2 C、若 $M (x, y)$ 是曲线 $E$ 上的任意一点，则 $3 y - x$ 的最大值为 $\sqrt{35}$ D、已知 $P (1, 1)$ ，直线 $y = k x (k > 0)$ 与曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|P A| + |P B|$ 为定值

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有种选择.

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13. 已知 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点， $A$ 为抛物线 $C$ 上一点．若 $|A F| = 11$ ，则点 $F$ 的坐标为，点 $A$ 的横坐标为．

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14. 已知 $ω \in N_{+}$ ，函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6})$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为1.

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、 $M, N$ 为抛物线 $C$ 上的两点，若直线 $M N$ 与 $y$ 轴垂直，且 $△ O M N$ 为等腰直角三角形，求 $△ O M N$ 的面积.

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16. 已知 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中共有9项.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x^{4}$ 的系数；

(3)、求二项式系数最大的项.

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17. 在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)、2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；

(2)、2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；

(3)、2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生.

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{12} = 1 (a > 0)$ 经过点 $H (2, 0)$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的离心率；

(2)、若线段 $A B$ 的中点坐标为 $(3, 3)$ ，求直线 $l$ 的斜率；

(3)、直线 $l$ 经过双曲线 $C$ 的右焦点，若以线段 $A B$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 若椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $B_{1} (0, b)$ ， $B_{2} (0, - b)$ ， $P$ 为椭圆 $Γ$ 上异于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 的任一点，且 $|P B_{1}| < |B_{1} B_{2}|$ 恒成立，则称椭圆 $Γ$ 为“内含椭圆”.已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0) (c > 0)$ ， $\frac{c}{b} + \frac{b}{c} = \frac{5}{2}$ ，四边形 $B_{1} F_{1} B_{2} F_{2}$ 的面积为4.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若椭圆 $Γ$ 为“内含椭圆”，求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(3)、若椭圆 $Γ$ 为“内含椭圆”， $H$ 为椭圆 $Γ$ 上一点， $M (\frac{\sqrt{5}}{10}, 0)$ ，且存在实数 $λ$ ，使得 $|H F_{1}| + |H F_{2}| = λ |H M|$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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