山东省青岛市海尔学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-21 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < 1 - x < 3}$ ， $B = {x \in N | x^{2} \leq 6 x}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）．

A、 $(3, 6]$ B、 $(2, 6]$ C、 ${3, 4, 5, 6}$ D、 ${4, 5, 6}$

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2. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（）

A、120种 B、240种 C、360种 D、480种

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3. 已知 ${(2 - \frac{1}{x})}^{23} = a_{0} + \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{22}}{x^{22}} + \frac{a_{23}}{x^{23}}$ ，则 $\frac{a_{0}}{2^{22}} + \frac{a_{1}}{2^{21}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{21}}{2} + a_{22} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则（）

A、 $X \sim B (100, 0.05)$ B、 $X \sim B (10, 0.05)$ C、 $X \sim B (100, 0.95)$ D、 $X \sim B (10, 0.95)$

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5. 设随机变量 $X ∼ N (2 ， σ^{2})$ ， $P (0 < X < 4) = 0.3$ ，则 $P (X < 0) =$ （）

A、0.65 B、0.7 C、0.35 D、0.25

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{4}}{S_{8}} = \frac{1}{7}$ ，则 $\frac{S_{12}}{S_{4}} =$ （）

A、41 B、45 C、36 D、43

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7. “赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）．

A、26种 B、31种 C、36种 D、37种

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8. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x) + f (x) \ln 2 < 0$ ，则下列不等关系成立的是（）

A、 $2 f (1) > f (0)$ B、 $f (1) < 2 f (2)$ C、 $5 f (\log_{2} 5) < 4 f (2)$ D、 $3 f (\log_{2} 3) > 2 f (1)$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的是（）

A、回归直线过样本点的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ B、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C、对分类变量X与Y，随机变量 $χ^{2}$ 的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 D、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.2 x + 0.8$ 中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量 $\hat{y}$ 平均增加0.2个单位

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10. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下表所示，且满足 $E (ξ) = 0$ ，则下列选项正确的是（）
$ξ$
-1
0
2
$P$
$a$
$\frac{1}{2}$
$b$

A、 $D (ξ) = 1$ B、 $D (| ξ |) = 1$ C、 $D (2 ξ + 1) = 4$ D、 $D (3 | ξ | - 2) = 5$

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11. 对于函数 $f (x) = \frac{ln x}{\sqrt{x}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (4) < f (π^{2}) < f (9)$ B、 $f (x)$ 在 $x = e^{2}$ 处取得极大值 $\frac{2}{e}$ C、 $f (x)$ 有两个零点 D、若 $f (x^{2}) < k x - \frac{2}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > e$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）

12. 若" $x > 2$ "是" $x > m$ "的必要不充分条件，则 $m$ 的取值范围是．

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13. 已知 $4 < a < 6, 3 < b < 4$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的取值范围是.

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14. 杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球.游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目.甲､乙､丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过11次传递后，花又在甲手中的概率为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位： $t$ ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 $x$ （万元）和年销售量 $y$ （单位： $t$ ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
$x$ （万元）
2
4
5
3
6
$y$ （单位： $t$ ）
2.5
4
4.5
3
6
（1）根据表中数据建立年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ ， $y$ 的关系为 $z = y - 0.05 x^{2} - 1.85$ ，根据（1）中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附：问归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{1}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{1} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{1} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{S} x_{1} y_{1} = 88.5$ ， $\sum_{i = 1}^{S} x_{1}^{2} = 90$ .

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16. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1}^{2} - S_{n}^{2} = 8 n$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1}$ 之间依次插入 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{k}$ ，得到数列 $\{b_{n}\} : a_{1}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $\dots$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $20$ 项和 $T_{20}$ ．

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17. 海水养殖场进行某水产品的新旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱测量各箱水产品的产量（单位： $kg$ ），其频率分布直方图如图所示：

(1)、根据频率分布直方图，填写下列列联表.
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量 $\geq 50 kg$
旧养殖法

新养殖法

合计

(2)、根据小概率 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828

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18. 高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为 $\frac{49}{50}$ ， $\frac{48}{49}$ ， $\frac{47}{48}$ ，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

(2)、人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为 $f (p)$ ，当 $p = p_{0}$ 时， $f (p)$ 取得最大值，求 $p_{0}$ ；

(3)、若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x + 1}}{a} - \ln x - \ln a$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) + 1 \geq 0$ ，求实数a的取值范围.

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五、附加题.

20. 已知函数 $f (x) = e^{a x} + \frac{1}{2} a x^{2}, a \in R$ .

(1)、求 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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养殖法	箱产量		合计
养殖法	箱产量<50kg	箱产量 $\geq 50 kg$	合计
旧养殖法
新养殖法
合计

$P (χ^{2} \geq x_{α})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.481	5.024	6.635	7.879	10.828

$ξ$	-1	0	2
$P$	$a$	$\frac{1}{2}$	$b$

$x$ （万元）	2	4	5	3	6
$y$ （单位： $t$ ）	2.5	4	4.5	3	6