重庆市育才中学校2025届高三一诊模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2025-01-09 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $N = \{1, 2, 3\}$ ，则满足 $N \cup M = \{1, 2, 3, 4\}$ 的集合 $M$ 的个数是（）

A、1 B、7 C、8 D、16

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2. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = |x|$ C、 $y = ln (- x)$ D、 $y = 2^{- x} - 2^{x}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (4, - 3)$ ，且 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、2 D、6

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4. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 8 = 0$ 的一条直径的两个端点分别是 $A, B$ ，则它们到直线 $l : x + y + 4 = 0$ 的距离之和为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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5. 已知直线 $y = b$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线围成的三角形面积为4，则双曲线的焦距的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 如图，现有一块半径为 $10 m$ 的半圆形草坪，圆心记为 $O, A D$ 是圆 $O$ 的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道 $A - B - C - D, B$ 和 $C$ 在弧 $A D$ 上（不与 $A, D$ 重合） $A B = C D$ ，则步道长的最大值为（）

A、 $25 m$ B、 $30 m$ C、 $20 \sqrt{2} m$ D、 $15 + 15 \sqrt{2} m$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $B (1, 0)$ ，曲线 $y = sin x$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 在第一象限交于点 $A$ ，设扇形 $O A B$ 的面积为 $S$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{π}{24} < S < \frac{π}{16}$ B、 $\frac{π}{16} < S < \frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{12} < S < \frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{8} < S < \frac{π}{6}$

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8. 对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在某三项 $a_{m}, a_{n}, a_{p} (m < n < p)$ 成等差数列，则称它们是 $\{a_{n}\}$ 的一个三元等差子数列.现已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n} - a_{n - 1} = 2 \times 3^{n - 1} - 2^{n - 1} (n \geq 2)$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的三元等差子数列的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、无数

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知一组样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，另一组样本数据 $y_{i} = a x_{i} + b (a > 0) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，下列说法正确的是（）

A、若样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的极差为 $R$ ，则样本数据 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的极差为 $a R$ B、若样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的方差为 $s^{2}$ ，则样本数据 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的方差为 $a s^{2}$ C、若样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的中位数为 $M$ ，则样本数据 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的中位数为 $a M + b$ D、若样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的平均值为 $\bar{x}$ ，则样本数据 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的平均值为 $a \bar{x} + b$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty), f (x y) = f (x) + f (y) - 1$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + f (3) = 3$ D、不等式 $f (2) + f (x) < f (x + 1) + 1$ 的解集为 $(- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1)$

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11. 平面直角坐标系中，设点 $A (- 1, 0), B (1, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| + |P B| = |P A| \cdot |P B|$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $C$ ，则（）

A、曲线 $C$ 是轴对称图形，也是中心对称图形 B、 $|P A| + |P B| \geq 4$ C、曲线 $C$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 有公共点 D、 $\sqrt{2} \leq |P A| \leq 2 + \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ .

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13. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为 $a, b (a < b)$ ，且 $a^{3} + b^{3} = 22$ ，侧面与下底面所成的二面角大小为 $45^{\circ}$ ，若四棱台的体积 $V \geq 1$ ，则 $a$ 的最大值为.

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14. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 6 \sqrt{3}, ∠ C A B = ∠ A B C = 30^{\circ}, E, F$ 分别是线段 $A C, B C$ 上的点，且 $A E = 2$ ， $B F = 4, N$ 为 $E F$ 的中点，则 $tan ∠ N B A =$ .

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四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D$ $∥$ $B C, P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = B C = 4$ ， $A B = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值.

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16. 近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为 $A$ 款､ $B$ 款､ $C$ 款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个.

(1)、若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个 $A$ 款玩偶的概率；

(2)、若小明只想要 $A$ 款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出 $A$ 款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出 $A$ 款玩偶，老板就赠送一个 $A$ 款玩偶给他.为了得到 $A$ 款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由.

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17. 已知 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C, 3 sin (A + B) = 5 sin (A - B)$ .

(1)、若 $B \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $tan C$ 的取值范围；

(2)、若 $c^{2} = a cos B + b cos A, b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知函数 $f (x) = λ ln x (λ > 0), g (x) = \frac{x - a}{x} (a > 0, x > 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有公共点，且在该点处的切线相同.

(1)、用 $λ$ 表示 $a$ ，并求 $a$ 的最小值；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、已知 $h (x) = x ln x$ ，若方程 $h (x) = m$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $|x_{2} - x_{1}| < m + 1$ .

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19. 已知 $n$ 个不同的椭圆 $E_{i} : x^{2} + 3 y^{2} = a_{i}^{2} (a_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n)$ ，射线 $l_{1} : y = k_{1} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}$ ， $\dots, E_{n}$ 分别交于点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，射线 $l_{2} : y = k_{2} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $B_{1}, B_{2}$ ， $\dots, B_{n}$ .

(1)、证明： $A_{1} B_{1}$ $∥$ $A_{2} B_{2}$ ；

(2)、作射线 $l : y = k x (x \geq 0)$ （异于 $l_{1}, l_{2})$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ ，记 $△ A_{i} B_{i} P_{i}$ 的面积为 $S_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ .
（i）求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值；
（ii）若 $k_{1} = 1, k_{2} = - 4$ ，且 $a_{i} = \frac{1}{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记 $S = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}$ ，证明： $S < \frac{31}{42}$ .
（参考数据： $4.5 < \sqrt{21} < 4.6$ ）

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