山东省新航标（联考）2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

试卷更新日期：2025-01-09 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）

1. 已知全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {x \in N ∣ - 3 < x < 2}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B)$ 等于（）

A、 ${4}$ B、 ${- 1, - 2, 4}$ C、 ${0, - 1, - 2, 4}$ D、 ${- 2, 2, 4}$

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2. 函数 $y = \frac{2}{\sqrt{7 - |x - 3|}}$ 的定义域是（）

A、 $(- 4, 10)$ B、 $(- 10, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (10, + \infty)$ D、 $[- 4, 10]$

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3. “ $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 成等比数列”是“ $2 b = a + c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列选项说法正确的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b$ ，则 $5 - a > 5 - b$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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5. 函数 $y = 2 \sin 3 x \cos 3 x$ 的最大值和最小正周期分别是（）

A、2， $\frac{π}{3}$ B、1， $\frac{2 π}{3}$ C、1， $\frac{π}{3}$ D、2， $\frac{2 π}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{5} + b x - 8$ ，若 $f (m) = - 3$ ，则 $f (- m)$ 的值是（）

A、3 B、 $- 13$ C、 $- 5$ D、5

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7. 已知不等式 $x^{2} - m x + 4 < 0$ 的解集为空集，则 $m$ 的取值集合为（）

A、 $(- 4, 4)$ B、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [4, + \infty)$ D、 $[- 4, 4]$

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8. 如图所示，若 $0 < a < 1$ ，函数 $y = a^{x}$ 与 $y = x + a$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + a$ ，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $- 1$ C、1 D、-2

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10. 已知一次函数 $g (x) = (a - 1) x + b$ 和指数函数 $f (x) = a^{x}$ ，若一次函数图象过一、三、四象限，则下列关系正确的是（）

A、 $f (- 3) > f (- 2)$ B、 $f (3) < f (2)$ C、 $f (3) > f (2)$ D、 $f (3) \geq f (2)$

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11. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ 且 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 135^{°}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、10 D、 $\sqrt{10}$

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12. 向量 $\vec{a} = (0, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, - 6)$ ，则 $⟨\vec{a}, 2 \vec{a} + \vec{b}⟩$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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13. 函数 $f (x) = a^{(x + 2)} + 1$ 的图象恒过的定点是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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14. 已知向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 8, m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(- 5, 14)$ B、 $(11, 12)$ C、 $(5, - 10)$ D、 $(11, - 10)$

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15. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，且 $S_{13} = 65$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、5 B、10 C、15 D、20

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16. 现需要把粗细均匀的100根圆木排成5层梯形形状，由上至下从第二层起，每层比上一排层多5根，则最上面一层的圆木根数为（）

A、8 B、10 C、11 D、12

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17. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ 且角 $α$ 的终边在直线 $2 x + y = 0$ 上，则 $\cos 2 α$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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18. 已知二次函数 $f (x) = - 2 x^{2} + (m - 1) x + m + 3$ 的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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19. 若 $α - β = 60^{°}$ ，则 $\tan α - \tan β - \sqrt{3} \tan α \tan β =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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20. 已知奇函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数，且 $f (1 - a) + f (1 - a^{2}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(3, 2)$

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二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）

21. 已知 $A (1, 2)$ ， $B (m, 4)$ ， $C (3, 6)$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则 $m =$ .

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22. 已知 $\tan 2 α = 4$ ，则 $\frac{1 - \tan^{2} α}{\tan α} =$ .

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23. 等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，前20项和 $S_{20} = 400$ ，公差 $d = 2$ ，则 $a_{1} + a_{3} + \dots a_{19} =$ .

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24. 函数 $f (x) = \sqrt{\log_{0.2} (x - 1)}$ 的定义域为.

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25. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 2) x + 7, x \in (- \infty, 2) \\ a^{x}, x \in [2, + \infty) \end{array}$ ，在 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数，则 $a$ 的取值区间为.

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三、解答题（本大题5个小题，共40分）

26. 已知二次函数 $f (x) = (m + 10) x^{2} + 2 (m - 2) x + 1$ ，其中 $m$ 为常数.

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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27. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若 $f (2 a - 1) > f (a)$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, 2 a]$ 上最大值是最小值的2倍，求 $a$ 的值.

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28. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项都是正数， $a_{1} + a_{2} = 6$ ， $S_{4} = 30$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前50项之和.

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29. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \sin^{2} x + \sin x \cos x$

(1)、函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，若 $f (x) = \sqrt{3}$ ，求 $x$ 的值.

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30. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为a，b，c，若向量 $\vec{m} = (b + a, c)$ ， $\vec{n} = (b + c, a - b)$ ，且向量 $\vec{m} / / \vec{n}$ ；

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $b = 4$ ， $a = 4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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