甘肃省张掖市 2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题

试卷更新日期：2025-01-16 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = - 2 + 4 i$ （i为虚数单位），则复数 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = \{x ∣ - 27 < x^{3} \leq 8\}, B = \{x ∣ x \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- 3, 2]$ D、 $(- 3, 0]$

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3. 已知命题 $p : \forall x \in (0, 9), {log}_{3} x < 2$ ；命题 $q : \exists x \in (0, 4), x^{2} < \sqrt{x}$ ．则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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4. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, m)$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $- 4$ C、 $1$ D、 $- 1$

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5. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 3$ ，半径为3的圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 外切，则点 $C_{2}$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 4$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 24$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 24$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 2 a x, x \leq - 1, \\ a^{x}, x > - 1, \end{array} \end{array}$ 若对任意 $x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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7. 在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，下底面半径为上底面半径的4倍，高为4，体积为 $28 π$ ，则圆台的母线与下底面所成角的正切值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $a^{2} + 4 \sqrt{3} S = {(b + c)}^{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，下列说法正确的有（）

A、若双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、若双曲线的通径长为2，则 $a = 2$ C、若 $P$ 是双曲线与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的交点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 D、若点 $Q (3, 2)$ 在双曲线上，则 $|Q F_{1}| - |Q F_{2}| = \sqrt{3}$

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10. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的有（）

A、该地家庭年收入低于5.5万元的农户所占比例估计为 $16 %$ B、估计该地农户家庭年收入的 $75 %$ 分位数为9万元 C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

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11. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + 8 a x + 32 a^{2}$ ，其中 $a$ 是常数，则（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 是增函数 B、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点，则 $a = \frac{1}{4}$ C、若 $a > 1$ ，且 $f (x)$ 有2个零点，则 $a = \frac{9}{2}$ D、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有3个零点

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{7} = 18, 4 a_{3} + a_{6} = 36$ ，则 $S_{8} =$ ．

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13. 已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}, \sin α \sin β = - \frac{1}{12}$ ，则 $\cos^{2} α - \sin^{2} β =$ ．

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14. 将分别标有号码 $1 ~ 6$ 的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有种.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求证： $\{b_{n}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x) \ln x + x$ 的图象在点 $(e, f (e))$ 处的切线斜率为 $3 (e - 1)$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的最大值．

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17. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示：

喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的居民
40
10
50
年龄超过45岁的居民
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、试根据 $a = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系．

(2)、居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在 $A$ 平台买菜，那么周二选择在 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{4}{5}$ ；如果周一选择在 $B$ 平台买菜，那么周二选择在 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小张周二选择在 $B$ 平台买菜的概率.

(3)、用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量 $X$ ，并记随机变量 $Y = 2 X + 3$ ，求X，Y的数学期望和方差．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18. 图1是直角梯形 $A B C D, A D // B C$ ， $∠ B = 90^{\circ}$ ，四边形 $A E C D$ 是边长为2的菱形，并且 $∠ A D C = 120^{\circ}$ ，以 $D E$ 为折痕将 $△ C D E$ 折起，使点 $C$ 到达点 $C_{1}$ 的位置，如图2.

(1)、求证： $A C_{1} ⊥ D E$ ；

(2)、若平面 $C_{1} D E ⊥$ 平面 $A B E D$ ，在棱 $B C_{1}$ 上找一点 $M$ ，使得点 $M$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{15}}{15}$ ，并求 $\frac{B M}{B C_{1}}$ 的值；

(3)、在（2）的前提下，求直线 $E M$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 已知曲线 $C$ 上任意一点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x + \sqrt{2})}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2}} = 2$ ．

(1)、化简曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ （ $O$ 为坐标原点），直线 $l$ 经过点 $A (m, 0) (m > 1)$ 且与圆 $O$ 相切，过点 $A$ 作直线 $l$ 的垂线，交 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ O M N$ 面积的最小值．

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	喜欢网上买菜	不喜欢网上买菜	合计
年龄不超过45岁的居民	40	10	50
年龄超过45岁的居民	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828