甘肃省平凉市庄浪县紫荆中学2024-2025学年高一上学期第二学段考数学试题

试卷更新日期：2025-01-19 类型：期末考试

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一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分）

1. 某病患者8人的潜伏期(天)分别为2，3，3，4，7，8，10，18，则这组数据的50%分位数是（）

A、4或7 B、4 C、7 D、5.5

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2. 函数 $y = 3 \cos (\frac{2}{5} x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{2 π}{5}$ B、 $\frac{5 π}{2}$ C、 $2 π$ D、 $5 π$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} + \lg (3 x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{3}, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ D、 $(0, \frac{1}{3})$

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4. 设 $a = 5^{0.4}$ ， $b = {0.4}^{5}$ ， $c = \log_{5} 0.4$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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5. 函数 $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x - 8)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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6. 函数 $f (x) = 3^{x} |l o g_{2} x| - 1$ 的零点个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 下列函数中，既是奇函数又在R单调递减的是 $($ 　　 $)$

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = e^{- x}$ C、 $y = l n x$ D、 $y = - x | x |$

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8. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty), (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

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二、多选题（本大题共3个题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9. 已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, (x \leq - 1) \\ x^{2}, (- 1 < x < 2) \\ 2 x, (x \geq 2) \end{array}$ ，若 $f (x) = 1$ ，则x的值是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、1

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10. 已知 $f (x) = \cos (x + \frac{π}{3})$ ，关于 $f (x)$ 的下列结论中正确的是( )

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $- 2 π$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递减 C、 $f (x + π)$ 的一个零点为 $x = \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{8 π}{3}$ 对称

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11. 已知 $\log_{3} a > \log_{3} b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\log_{3} (a - b) > 0$ C、 $3^{a - b} < 1$ D、 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$

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三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分）

12. 若 $\tan θ = 2$ ，则 $\frac{\sin θ + 2 \cos θ}{2 \sin θ - 3 \cos θ} =$ .

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13. 函数 $y = \log_{a} (x + 4) + 4$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点.

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14. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x \geq 0, f (x) = x^{2} - 2 x + a$ ，则 $f (- 3) =$ ．

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四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 已知 $f (x) = 9^{x} - 2 \times 3^{x} + 4$ ， $x \in [0$ ， $2]$
（1）设 $t = 3^{x}$ ， $x \in [0$ ， $2]$ ，求 $t$ 的最大值与最小值；
（2）求 $f (x)$ 的最大值与最小值.

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16. 已知角 $θ$ 是第二象限角，其终边上一点 $P (- 12, 5)$ .
（1）写出三角函数 $\sin θ, \cos θ$ 的值；
（2）求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + θ) + \sin (- π - θ)}{\cos (- θ)}$ 的值.

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17. 已知函数 $f (x) = \ln (3 + 2 x), g (x) = \ln (3 - 2 x)$ .
（1）求函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的定义域；
（2）若 $F (x) > 0$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围.

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18. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的一段图象（如图所示）.

(1)、求函数 $f (x)$ 解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值和最小值.

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19. 从某校随机抽取 $100$ 名学生，调查他们一周课外阅读的时间(单位： $h$ )的数据，按 $[0, 2), [2, 4)$ ， ...， $[16, 18]$ 分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，已知 $b = 2 a .$
（1）求频率分布直方图中的 $a, b$ 的值；
（2）求这 $100$ 名学生这周课外阅读时间的中位数的估计值；(结果精确到 $0.1$ )
（3）为了鼓励学生养成课外阅读的习惯，学校给学生赠送笔记本作为奖励，这周课外阅读时间在 $[0, 6)$ 内的没有奖励， $[6, 10)$ 内的奖励一本笔记本， $[10, 14)$ 内的奖励两本笔记本， $[14, 18]$ 内的奖励三本笔记本，则一共奖励这 $100$ 名学生多少本笔记本？

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