吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2025-01-15 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 抛物线 $x = 2 y^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $x = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{4}$ C、 $x = - \frac{1}{8}$ D、 $x = - \frac{1}{16}$

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2. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{11} = 24$ ，则 $a_{6} + a_{7} + a_{8}$ 的值是（）

A、36 B、48 C、72 D、24

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3. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则 $E$ 的焦距等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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4. 过点 $P (2, 3)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$ C、 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 5 = 0$ 或 $3 x - 2 y = 0$

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5. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{9} = a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4}$ ，则公比 $q$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $3$

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交双曲线右支于 $M$ 点，若 $M F_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率为

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 小明为锻炼身体，增强体质，计划从假期第一天开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里，则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（）

A、8 B、9 C、4 D、5

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8. 已知 $F_{1} (- 3, 0), F_{2} (3, 0)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在椭圆上， $∠ F_{1} P F_{2} = α$ ,当 $α = \frac{2 π}{3}$ 时， $Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积最大，则 $m + n$ 的值是（）

A、41 B、15 C、9 D、1

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差为d， $a_{10} < 0$ 且 $a_{10} + a_{11} > 0$ 则下列结论正确的有（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{9} = S_{10}$ C、 $S_{19} < 0$ D、 $S_{20} > 0$

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10. 已知直线 $l ： k x - y + 2 k = 0$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 16$ ，则（）

A、直线l恒过定点 $(2 ， 0)$ B、存在k使得直线l与直线 $l_{0} ： x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 C、直线l与圆O相交 D、若 $k = - 1$ ，直线l被圆O截得的弦长为4

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11. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆的左、右顶点， $P$ 为 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $6$ B、 $|P F_{1}|$ 的最大值为 $3$ C、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若数列 ${a_{n}}$ 中的前n项和 $S_{n} = n^{2} - 3 n$ （n为正整数），则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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13. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 7$ ，前 $3$ 项之和 $S_{3} = 21$ ，则公比 $q$ 的值是.

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14. 已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上的一个动点，则 $P$ 到点 $(0 ， 2)$ 的距离与 $P$ 到该抛物线准线的距离之和的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*}),$ 且 $a_{5}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列，

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值及此时n的值．

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16. 已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标 $F (1, 0)$ ，斜率为 $- 1$ 的直线l与C相交于A，B．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、若 $|A F| + |B F| = 10$ ，求l的方程．

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17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} = 5$ ， $S_{8} = 64$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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18. 已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 10, a_{1} a_{5} = 9, a_{1} < a_{5}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 3 n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴是短轴的 $\sqrt{2}$ 倍，且右焦点为 $F (1, 0)$ .
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）直线 $l : y = k (x + 2)$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $- \frac{2}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程及 $△ F A B$ 的面积.

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