贵州省六盘水市纽绅中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-12 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（）

A、1种 B、2种 C、3种 D、4种

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2. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（）

A、 $A_{4}^{3}$ 种 B、 $C_{4}^{3}$ 种 C、 $4^{3}$ 种 D、 $3^{4}$ 种

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3. (x-2y)⁵的展开式中x²y³的系数为（）

A、-80 B、80 C、-40 D、40

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4. 若 $S = 1! + 2! + 3! + ⋯ + 100!$ ，则 $S$ 的个位数字是（）

A、0 B、3 C、5 D、8

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5. 关于排列组合数，下列结论错误的是（）

A、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}$ C、 $A_{n}^{m} = m A_{n - 1}^{m - 1}$ D、 $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$

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6. 从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）

A、112 B、32 C、56 D、12

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7. 某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（）

A、216种 B、108种 C、72种 D、36种

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8. 如图所示，将四棱锥 $S - A B C D$ 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（）

A、120 B、96 C、72 D、48

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）

A、从中任选1个球，有15种不同的选法 B、若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C、若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D、若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

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10. 已知 $(x - 1) {(x + 2)}^{6} = a_{0} + a {}_{1}x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，则（）

A、 $a_{0} = - 64$ B、 $a_{1} = 63$ C、 $a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} = 0$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} = 1$

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11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表（第 $n (n \geq 2)$ 行从左至右每个数分别为 $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, \dots, C_{n}^{n}$ ），数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）

A、 $1 + C_{6}^{1} + C_{7}^{2} + C_{8}^{3} = C_{9}^{3}$ B、第2024行的第1014个数最大 C、第6行､第7行､第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D、第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为 $2 : 3$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $(x^{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{n}$ 的展开式中，二项式系数之和为128，则 $n =$ .

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13. 马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为．

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14. 将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2，设第 $k$ 列的所有数的和为 $r_{k} (k = 1, 2, 3, 4, 5), m$ 为 $r_{1}, r_{2} \cdot r_{3}, r_{4}, r_{5}$ 中的最小值，则 $m$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

15. 已知 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是 $1 : 9$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中的常数项.

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16. （1）解不等式： $3 A_{x + 1}^{3} \leq 2 A_{x + 2}^{2} + 6 A_{x + 1}^{2}$ ；
（2）已知 $\frac{1}{C_{5}^{m}} - \frac{1}{C_{6}^{m}} = \frac{7}{10 C_{7}^{m}}$ ，求 $C_{7}^{m + 1}$ ．

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17. 2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：

(1)、2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；

(2)、3名宇航员互不相邻的概率；

(3)、2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.

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18. 有0，1，2，3，4，5六个数字．

(1)、能组成多少个无重复数字的四位偶数？

(2)、能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？

(3)、能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？

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19. 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为 $n (n \geq 4, n \in N)$ 等份，种植红､黄､蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.

(1)、如图1，圆环分成的4等份为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，有多少种不同的种植方法？

(2)、如图2，圆环分成的 $n$ 等份为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ ，有多少种不同的种植方法？

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