北师大版（2024）数学七下第一章整式的乘除单元测试C卷

试卷更新日期：2025-01-19 类型：单元试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 在下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{3} \div a^{2} = a$

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2. 已知 $a^{m} = 2, a^{n} = 5$ ，则 $a^{m + n} =$ （）

A、10 B、7 C、3 D、25

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3. (-2)⁵是(-2)³的( )

A、2倍 B、3倍 C、4倍 D、8倍

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4. $(- 3 a - 4 b) (- 3 a + 4 b)$ 的计算结果为（）

A、 $16 b^{2} - 9 a^{2}$ B、 $- 16 b^{2} + 9 a^{2}$ C、 $- 16 b^{2} - 9 a^{2}$ D、 $- 16 b^{2} - 9 a^{2}$

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5. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为 0.0000061 米，将数据 0.0000061 用科学记数法表示正确的是 ( )

A、 $6.1 \times 10^{- 5}$ B、 $0.61 \times 10^{- 3}$ C、 $6.1 \times 10^{- 6}$ D、 $0.61 \times 10^{- 6}$

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6. 用四个长、宽分别为m ， n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形.若 $m + n = 18$ ， $m n = 45$ ，则 ${(m - n)}^{2}$ 的值为( )

A、400 B、324 C、144 D、81

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7. 计算(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)+1的值是（）

A、1024 B、2⁸+1 C、2¹⁶+1 D、2¹⁶

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8. 若 $a^{4} + b^{4} + a^{2} b^{2} = 5$ ， $a b = 2$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值是（）

A、－2 B、2 C、3 D、±3

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二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

9. 计算： $- 5^{2025} \times {(\frac{1}{5})}^{2024} =$ ．

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10. 求值： $(2 + 1) \times (2^{2} + 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1) \times . . . \times (2^{64} + 1) =$ ．

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11. 若实数 $m, n$ 满足 $2 n \neg m - 1 = 0$ ，则 $4^{m} \div 16^{n} =$

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12. 如果 $a ， b$ 是长方形的长和宽，且 ${(a + b)}^{2} = 16$ ， ${(a - b)}^{2} = 4$ ，则长方形面积是．

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13. 著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中 $a > b > 0$ ，若 $a b = \frac{9}{4}$ ， $a + b = 5$ ，则阴影部分的面积为．

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三、解答题（本题共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题11分，第18题10分，第19题8分，第20题12分，共61分）

14. 一天有 8.64×10⁴s，一年按365 天计算，一年有多少秒(用科学记数法表示)?

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15. 先化简，再求值：（2y+1）（2y-1）﹣（y﹣1）（y+5）-3y² ，其中y＝﹣2．

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16. 探索代数式 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 与(a-b)²的关系.

(1)、当a=2，b=1时，分别计算两个代数式的值；

(2)、当a=3，b=-2时，分别计算两个代数式的值；

(3)、你发现了什么规律?

(4)、利用你发现的规律计算： $2025^{2} - 2 \times 2025 \times$ 2024+2024².

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17. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
① $x^{2} + 4 x + 2 = (x^{2} + 4 x + 4) - 2 = {(x + 2)}^{2} - 2$ ，
∵ ${(x + 2)}^{2} \geq 0$ ， ∴ $x^{2} + 4 x + 2 = {(x + 2)}^{2} - 2 \geq - 2$ ．因此代数式 $x^{2} + 4 x + 2$ 有最小值 $- 2$ ；
② $- x^{2} + 2 x + 3 = - (x^{2} - 2 x + 1) + 4 = - {(x - 1)}^{2} + 4$ ．
∵ $- {(x - 1)}^{2} \leq 0$ ， ∴ $- x^{2} + 2 x + 3 = - {(x - 1)}^{2} + 4 \leq 4$ ．因此，代数式 $- x^{2} + 2 x + 3$ 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：

(1)、代数式 $- a^{2} - 6 a + 4$ 的最大值为________；

(2)、求代数式 $a^{2} + b^{2} + 4 b - 8 a + 11$ 的最小值；

(3)、如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，若 $A C + B D = 12$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值．

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18. 我们知道，同底数幂的乘法法则为 $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ （其中 $a \neq 0$ ， m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： $f (m + n) = f (m) \cdot f (n)$ ，若 $f (2) = 5$ ，则 $f (4) = f (2 + 2) = f (2) \cdot f (2) = 5 \times 5 = 25$ ，请根据这种新运算解决以下问题：

(1)、①若 $f (1) = - \frac{2}{3}$ ，则 $f (2) =$ ________；
②若 $f (2) = 4$ ，则 $f (1) =$ ________；

(2)、若 $f (4) = 81$ ，求 $f (3)$ 的值．

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19. 【阅读理解】例：若 $x$ 满足 $(9 - x) (x - 4) = 4$ ，求 ${(4 - x)}^{2} + (x - 9)$ 的值．
解：设 $9 - x = a$ 、 $x - 4 = b$ ，则 $(9 - x) (x - 4) = a b = 4$ ， $a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$ ，
${(9 - x)}^{2} + {(x - 4)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$ ．
请仿照上面的方法求解下面问题：
【跟踪训练】

(1)、若 $x$ 满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ 的值．

(2)、若 $n$ 满足 ${(n - 2023)}^{2} + {(n - 2024)}^{2} = 11$ ，求 $(n - 2023) (n - 2024)$ 的值．

(3)、已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $x$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $D C$ 上的点，且 $A E = 1$ ， $C F = 3$ ，长方形 $E M F D$ 的面积是15，分别以 $M F$ ， $D F$ 为边长作正方形，求阴影部分的面积．

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北师大版（2024）数学七下第一章 整式的乘除 单元测试C卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

三、解答题（本题共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题8分，第17题11分，第18题10分，第19题8分，第20题12分，共61分）

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