北师大版（2024）数学七下第一章整式的乘除单元测试A卷

试卷更新日期：2025-01-19 类型：单元试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 一种细胞的直径约为0.0000032米，将0.0000032用科学记数法表示为（）

A、 $3.2 \times 1 0^{- 6}$ B、 $3.2 \times 1 0^{6}$ C、 $32 \times 1 0^{- 5}$ D、 $0.32 \times 1 0^{- 7}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{3} = a^{9}$ B、 $a^{3} \cdot a = 2 a^{4}$ C、 ${(a b)}^{3} = a^{3} b$ D、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$

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3. 下列各式计算结果为 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3}$ B、 $a^{3} + a^{3}$ C、 $a^{12} \div a^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{4} \div a^{2}$

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4. 已知整式 $a x^{2} + b x + c$ 分解因式得 $- (2 x - 3) (x - 1)$ ，则 $a 、 b 、 c$ 的值分别（）

A、 $- 2, 5, - 3$ B、 $- 2, - 5, 3$ C、 $2, - 5, 3$ D、 $2, 5, - 3$

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5. 若 $a - b = 6$ ， $a b = 16$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为（　　）

A、68 B、52 C、20 D、4

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6. 已知多项式 $A = x^{2} + 4 x + n^{2}$ ，多项式 $B = 2 x^{2} + 6 x + 3 n^{2} + 3$ ．
①若多项式 $x^{2} + 4 x + n^{2}$ 是完全平方式，则 $n = 2$ 或 $- 2$ ；
② $B - A \geq 2$ ；
③若 $A + B = 2 \sqrt{10}$ ， $A \cdot B = - 6$ ，则 $A - B = \pm 8$ ；
④代数式 $5 A^{2} + 9 B^{2} - 12 A \cdot B - 6 A + 2031$ 的最小值为2022．以上结论正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如果a，b，c，d都是非零实数，且满足 $a^{2} + b^{2} = 1, c^{2} + d^{2} = 1, a c + b d = 0$ ，下列结论中，（1） $a^{2} + c^{2} = 1$ （2） $a b + c d = 0$ （3） $a d + b c = 0$ ，则一定成立的命题个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字 $1 ~ 9$ 填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且 $A + B + C = 411$ ．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、 $x + y$ ，则 $x y$ 的值为（）

A、6 B、10 C、14 D、18

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二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

9. 三个连续偶数，中间一个数为 n，则这三个数的和为.

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10. 若 $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 3$ ，则 $a^{2 m - n}$ 的值是．

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11. 若 $x + y = 3$ ， $x y = \frac{5}{4}$ ，则 ${(x - y)}^{2}$ 的值为．

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12. 计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1＝．

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13. 若 $a = 2005$ ， $b = 2006$ ， $c = 2007$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c =$ .

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三、解答题（本题共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题6分，第17题10分，第18题12分，第19题10分，第20题11分，共61分）

14. 计算：

(1)、 $a^{3} \cdot a^{4} \cdot a + {(a^{2})}^{4} + {(- 2 a^{4})}^{2}$ ；

(2)、 $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ ．

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15. 先化简，再求值： $(a^{2} b - 2 a b - b^{3}) \div b - (a + b) (a - b)$ ，其中 $a = 0.5$ ， $b = - 1$ ．

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16. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式。如图，将一个边长为 $a + b$ 的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：

(1)、根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：；

(2)、如果图中的 $a, b (a > b > 0)$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 70, a b =$ 15 ，求 $(a - b)^{2}$ 的值.

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17. 某学习小组学习了幂的有关知识后发现：根据 $a^{m} = b$ ，知道a、m的值，可以求b的值．如果知道a、b的值，可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若 $a^{m} = b$ ，那么 $T (a, b) = m$ ．例如，那么 $T (3, 81) = 4$ ．

(1)、填空： $T (2, 32) =$ ； $T (\frac{1}{2}, 8) =$ ；

(2)、计算： $T (\frac{1}{3}, 27) + T (- 2, 16)$ ；

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18. 先计算，然后根据计算结果回答问题：

(1)、计算：
$① (1 \times 10^{2}) \times (2 \times 10^{4}) =$
$② (2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{7}) =$
$③ (3 \times 10^{7}) \times (4 \times 10^{4}) =$
④ $(4 \times 10^{5}) \times (5 \times 10^{10}) =$

(2)、已知式子 $(a \times 10 ⁿ) \times (b \times 10 ᵐ) = c \times 10 ᵖ$ 成立，其中a，b，c均为大于或等于1且小于10的数，m，n，p均为正整数，请你说出m，n，p 之间存在的等量关系

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19. 先阅读下列材料，再解答后面的问题.
一般地，n个相同的因数a 相乘的积记作a"，
即 $\overset{n 个 a}{\overset{⏞}{a \times a \times \dots \times a}} = a^{n}$ 如 2³=8，此时，3叫作以2 为底 8 的对数，记为 log₂8(即 log₂8=3).一般地，若 $a ⁿ = b$ （a＞0且a≠1，b>0)，则n 叫作以a为底b的对数，记为 log_ab(即 log_ab=n)，如 $3^{4} = 81$ ，则 4 叫作以3 为底 81的对数，记为 log₃81(即log₃81=4).
问题：

(1)、计算以下各对数的值：
log₂4= ， log₂16= ， log₂64=；

(2)、通过观察(1)，思考：log₂4，log₂16，log₂64之间满足怎样的关系式?

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20. 乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)、请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：　　；方法2：　　．

(2)、观察图2，请你写出下列三个代数式： ${(a + b)}^{2}$ ， $a^{2} + b^{2}$ ， $a b$ 之间的等量关系．　　；

(3)、类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： $(a + b) (a + 2 b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$

(4)、根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： $a + b = 5$ ， $a^{2} + b^{2} = 11$ ，求 $a b$ 的值；
②已知 ${(x - 2020)}^{2} + {(x - 2022)}^{2} = 34$ ，求 ${(x - 2021)}^{2}$ 的值．

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北师大版（2024）数学七下第一章 整式的乘除 单元测试A卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）

三、解答题（本题共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题6分，第17题10分，第18题12分，第19题10分，第20题11分，共61分）

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