浙教版（2024）数学七下第2章二元一次方程组单元测试C卷

试卷更新日期：2025-01-19 类型：单元试卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列方程中，属于二元一次方程的是( )

A、 $- 2 a = 3 a + 1$ B、 $\frac{1}{3} - x = \frac{1}{y} + 2$ C、 $m - n = 2 a$ D、 $2 x - 1 = y$

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2. 若 $\{\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是关于x、y的二元一次方程 $a x + 2 y = 5$ 的解，则a的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 若a，c，d是整数，b是正整数，且a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是( )

A、5 B、2 C、-5 D、-2

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4. 一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 150 \\ 3 x + 6 y = 100 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 150 \\ 3 y + 6 x = 100 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 150 \\ 2 y + 6 x = 100 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 150 \\ 2 x + 6 y = 100 \end{array}$

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5. 二元一次方程 $3 x + y = 15$ 有无数个解，下列选项中，不是此方程的解的是（　　）

A、 $x = 2 ， y = 9$ B、 $x = 3 ， y = 6$ C、 $x = 4 ， y = 4$ D、 $x = 5 ， y = 0$

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6. 若关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 3 \end{array}$ ，则关于m ， n的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} (m - n) + b_{1} (m + n) = c_{1} \\ a_{2} (m - n) + b_{2} (m + n) = c_{2} \end{array}$ 的解是（　　）

A、 ${\begin{array}{l} m = - \frac{1}{2} \\ n = - \frac{5}{2} \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} m = - \frac{1}{2} \\ n = \frac{5}{2} \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} m = - \frac{5}{2} \\ n = \frac{1}{2} \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} m = \frac{5}{2} \\ n = \frac{1}{2} \end{array}$

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7. 在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是 ${\begin{cases} 2 x + y = 11 ， \\ 4 x + 3 y = 27 ， \end{cases}$ 类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（）

A、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = - 14 ， \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = - 9 ， \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 19 ， \\ x + 4 y = 3 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 19 ， \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$

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8. 关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} a_{1} (x + y) - b_{1} (x - y) = c_{1} \\ a_{2} (x + y) - b_{2} (x - y) = c_{2} \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = 2022 ， \\ y = 2023 ， \end{matrix}$
则关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = \frac{1}{5} c_{1} ， \\ a_{2} x + b_{2} y = \frac{1}{5} c_{2} \end{matrix}$ 的解是（）

A、 $\{\begin{matrix} x = 809 ， \\ y = \frac{1}{5} \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x = 4045 ， \\ y = 1 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x = 2022 ， \\ y = 2023 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x = \frac{2022}{5} ， \\ y = \frac{2023}{5} \end{matrix}$

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9. 关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 a y = 3 - a \\ - a x - 2 y = 1 \end{array}$ ， ①当 $a = 2$ 时，方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$ ， ②当 $a = 3$ 时， $x + 2 y = \frac{1}{2}$ ；③若该方程组无解，则 $a = \pm 1$ ，以上结论中正确的个数有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

10. 已知 ${\begin{array}{l} x = 2 a \\ y = b \end{array}$ 是二元一次方程 $2 x - 5 y + 7 = 0$ 的一个解，则代数式 $9 - 8 a + 10 b$ 的值为．

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11. 已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 5 \\ x + y = - 7 \end{array}$ ，则代数式 $x - y =$ .

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12. 关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 1 - m, \\ x - 3 y = 5 + 3 m \end{matrix}$ 中，m与方程组的解中的x或y相等，则m的值为.

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13. 某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了 $6.5$ 小时，返回时用了 $7.5$ 小时．已知走上坡每小时 $5$ 千米，走下坡时每小时 $6 \frac{2}{3}$ 千米．甲、乙两地的公路长千米．

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14. 若方程组 $\{\begin{matrix} a x + y = b, \\ x - b y = a \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{matrix} x = 1, \\ y = 1, \end{matrix}$ 则 $(a + b)^{2} -$ (a-b)(a+b)的值为.

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15. 若一个四位正整数 $\bar{a b c d}$ 的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“吉祥数”，那么最大的“吉祥数”为；将一个“吉祥数”M的前两位数字组成的两位数 $\bar{a b}$ 记为s ，后两位数字组成的两位数 $\bar{c d}$ 记为t ，规定 $F (M) = \frac{s + t}{9}$ ， $G (M) = \frac{s - t}{3}$ ，若 $F (M)$ 、 $G (M)$ 都是整数，则满足条件的M的最大值为.

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三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）

16. 解下列方程（组）：

(1)、 $3 （ x - 1 ） = 2 - 2 x$ ．

(2)、 $\{\begin{array}{l} x + 4 y = 14 ， \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12} \end{array}$

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17. 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？

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18. 综合与实践：设计运动会物资的购买方案．
【背景素材】七年级1班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元．
【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究．

(1)、思考1（确定售价）：A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元？

(2)、思考2（方案探究）：购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有几种购买方案？

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19. 根据以下素材，探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1
图 1 中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背尺寸为 $40 c m \times 15 c m$ ，座垫尺寸为 $40 c m \times 35 c m$ . 图 2 是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫. 已知该板材长为 $240 c m$ ，宽为 $40 c m$ . (裁切时不计损耗)

(1)、【拟定裁切方案】若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有栽切方法

(2)、【确定搭配数量】若该工厂购进 50 张该型号板材，能制作成多少张学生椅?

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20. 对下列问题，有三名同学提出了各自的想法：若方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} ， \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 $\{\begin{array}{l} x = 3 ， \\ y = 4 ， \end{array}$ 求方程组 $\{\begin{array}{l} 3 a_{1} （ x - 1 ） + b_{1} （ y + 3 ） = 4 c_{1} ， \\ 3 a_{2} （ x - 1 ） + b_{2} （ y + 3 ） = 4 c_{2} \end{array}$ 的解．甲说： “这个题目的条件好像不够，不能求解， ”乙说： “它们的系数有一定的规律，可以试试．”丙说： “能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 4 ，通过换元替代的方法来解决？”参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．

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21. 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形 $A B C D$ ），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．

(1)、若大玻璃的长 $A D$ 为2米，则乙玻璃的边 $A E =$ 米， $A F =$ 米．

(2)、若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．

(3)、若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入 $n (40 < n < 80)$ 块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是（请写出满足条件的n的值）．

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22. 阅读材料并回答下列问题：
当m ， n都是实数，且满足 $m - n = 4$ ，就称点 $P (m - 2, 2 n + 1)$ 为“明德点”．
例如：点 $P (3, 3)$ ，令 ${\begin{cases} m - 2 = 3 \\ 2 n + 1 = 3 \end{cases}$ ，得 ${\begin{cases} m = 5 \\ n = 1 \end{cases}$ ， $m - n = 4$ ，所以 $P (3, 3)$ 是“明德点”；点 $Q (1, - 3)$ ，令 ${\begin{cases} m - 2 = 1 \\ 2 n + 1 = - 3 \end{cases}$ ，得 ${\begin{cases} m = 3 \\ n = - 2 \end{cases}$ ， $m - n = 5 \neq 4$ ，所以 $Q (1, - 3)$ 不是“明德点”．

(1)、点 $A (- 1, - 7)$ ， $B (5, 7)$ 是“明德点”的是点；

(2)、点 $C (2 a, a - 3)$ 是“明德点”，求点C的坐标；

(3)、若以关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = t \end{cases}$ 的解为坐标的点 $D (x, y)$ 是“明德点”，求t的值．

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23. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每
一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数 $x ， y$ 满足 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y =$ 7 ②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $x ， y$ 的值，再代人欲求值的代数式得到答案，但常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 ① - ②可得 $x - 4 y = - 2$ ，由①+② $\times 2$ 可得 $7 x + 5 y = 19$ ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 7 ， \\ x + 2 y = 8 ， \end{array}$ 则 $x - y =$ ， $x + y =$ .

(2)、某班级组织活动购买小奖品，买 20 支铅笔、 3 块橡皮、 2 本日记本共需 32 元，买 39 支铅笔、 5 块橡皮、 3 本日记本共需 58 元，则购买 5 支铅笔、 5 块橡皮、 5 本日记本共需多少元？

(3)、对于实数 $x ， y$ ，定义新运算： $x * y =$ $a x + b y + c$ ，其中 $a ， b ， c$ 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 $3 * 5 = 15$ ， $4 * 7 = 28$ ，那么 $1 * 1 =$ .

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浙教版（2024）数学七下第2章 二元一次方程组 单元测试C卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）

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