广东省汕头市2024-2025学年高三上学期12月期末教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2025-01-04 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（）

A、 $\forall x > 1, x^{3} > 1$ B、 $\exists x \notin Q, x^{3} \in Q$ C、 $\exists x > 1, \sqrt{x} < 1$ D、 $\forall x \in Q, x^{3} \in Q$

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2. 若 $z \in C, z + |z| = 1 + 3 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 已知平面向量 $\vec{a} ､ \vec{b}$ 满足： $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, |\vec{a} - 2 \vec{b}| = |\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4. 我们研究成对数据 $(a_{i}, b_{i}) (i = 1, 2, \dots, 10)$ 的相关关系，其中 $a_{i} = i (i = 1, 2, \dots, 10)$ ， $b_{i} = a_{i} (i = 1, 2, \dots, 9), b_{10} = a$ .在集合 $\{8, 11, 12, 13\}$ 中取一个元素作为 $a$ 的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则 $a =$ （）

A、8 B、11 C、12 D、13

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5. 某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（）

A、100户居民的月均用水量的中位数大于7.2 $t$ B、100户居民的月均用水量低于16.2 $t$ 的用户所占比例超过 $90 %$ C、100户居民的月均用水量的极差介于21 $t$ 与27 $t$ 之间 D、100户居民的月均用水量的平均值介于16.2 $t$ 与22.2 $t$ 之间

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6. 已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $M (x_{0}, 4)$ 在 $C$ 上，且 $|M F| = 2 |O F|$ ，则 $C$ 的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $y^{2} = x$

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7. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上､下底面面积分别为 $18, 32$ ，下底面上的棱 $A D$ 与侧棱 $B B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{10}$ ，则该正四棱台的体积为（）

A、 $\frac{518}{3}$ B、 $148 \sqrt{2}$ C、148 D、 $\frac{370 \sqrt{2}}{3}$

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8. 设函数 $f (x) = x \ln x - (a + b) \ln x$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $5^{a} + 5^{b}$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知曲线 $C : x^{2} \cos θ + y^{2} \sin θ = 1$ ， $θ \in (0, π)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\cos θ = 0$ ，则曲线 $C$ 表示两条直线 B、若 $\cos θ > 0$ ，则曲线 $C$ 是椭圆 C、若 $\cos θ < 0$ ，则曲线 $C$ 是双曲线 D、若 $\cos θ = - \sin θ$ ，则曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{2}$

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10. 已知 $f (x) = 2 {sin}^{2} (ω x + \frac{π}{6}) - 1 (ω > 0)$ ，则（）

A、若 $f (x_{1}) = 1, f (x_{2}) = - 1$ ，且 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = \frac{π}{2}$ ，则 $ω = 2$ B、 $\exists ω \in (0, 2)$ ，使得 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后所得图象关于原点对称 C、当 $ω = \frac{3}{2}$ 时，函数 $y = f (x) + m (m \in R), x \in (- \frac{π}{9}, \frac{2 π}{3})$ 恰有三个零点 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = \frac{14}{9} π$ D、若 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上恰有2个极大值点和1个极小值点，则 $ω \in (\frac{4}{3}, \frac{11}{6}]$

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11. 将函数 $y = f (x)$ 的图象绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \sin 2 x$ C、 $y = x - \ln x$ D、 $y = x e^{x}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知公比不为1的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ 且 $3 a_{1} 、 2 a_{2} 、 a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{2025} =$ （结果用幂表示）

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13. 已知 $F_{1} ､ F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点 $M$ ，若 $|M F_{1}| = 3 |O M|$ ，则双曲线的渐近线方程为.

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14. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为 $α$ ，沿倾斜角为 $β$ 的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 $γ$ ，则山高 $h =$ m.（结果用d、 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 表示）

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长（小时）
$[0, 2)$
$[2, 2.5)$
$[2.5, 3)$
$[3, 3.5)$
$[3.5, 4]$
人数（人）
3
4
33
42
18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.

(1)、从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；

(2)、从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有 $X$ 人可以在2小时内完成各科作业，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有 $Y$ 人可以在3小时内完成各科作业，求 $E (Y)$ .

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，直线 $l : y = x + m$ 与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方）， $△ F_{1} A B$ 的面积是 $△ F_{2} A B$ 面积的2倍.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、求 $tan \frac{∠ F_{1} A F_{2}}{2}$ .

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17. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8, A D = 5 \sqrt{3}$ ， $C D = 3, ∠ B A D = 30^{\circ}, ∠ A D C = 90^{\circ}$ ，点 $F$ 为 $A B$ 中点， $F E ⊥ A D$ 于 $E$ ，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折至 $△ P E F$ ，使得 $P C = 4 \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $P E D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P E F$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知函数 $f (x) = (x + \frac{1}{2}) ln (\frac{1}{x} + 1)$ .

(1)、证明曲线 $y = f (x)$ 是轴对称图形；

(2)、设函数 $g (x) = f (\frac{1}{x}), x \in (0, + \infty)$ ，解不等式 $g (x) > \frac{e + 1}{2 e - 2}$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

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19. 设 $\{a_{n}\}$ 为无穷数列， $\{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}, \dots\}$ 为正整数集 $N^{*}$ 的无限子集，且 $n_{1} < n_{2} < \dots < n_{k} < \dots$ ，则数列 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}, \dots$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的一个子列.

(1)、请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列；

(2)、设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 1, a_{3} = 2 \sqrt{2} + 1$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 的任意子列不是等比数列；

(3)、对于公差不为零的无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ ，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件.

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时长（小时）	$[0, 2)$	$[2, 2.5)$	$[2.5, 3)$	$[3, 3.5)$	$[3.5, 4]$
人数（人）	3	4	33	42	18