四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷

试卷更新日期：2025-01-08 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 直线 $l$ 经过点 $(0, - 1)$ 和 $(1, 0)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 1, 2, 1) ， \vec{b} = (3, x, - 3)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则x=（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- 6$ D、6

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3. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 1$ ， $a_{n}_{+ 1} = a_{n} + n + 1$ .则 $a_{10} =$ （）

A、36 B、15 C、55 D、66

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4. 四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的菱形，侧棱长为2，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = 60 °$ ，则线段 $A_{1} C$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ C、3 D、 $\sqrt{11}$

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5. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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6. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y$ （p＞0）上一点 $A (m, 1)$ 到其焦点的距离为p，O为坐标原点，则|OA|＝（　　）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 $π$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点为 $F (3 ， 0)$ ，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦 $A B$ 中点坐标为 $(2 ， - 1)$ ，则椭圆的面积为（）

A、 $36 \sqrt{2} π$ B、 $18 \sqrt{2} π$ C、 $9 \sqrt{2} π$ D、 $6 \sqrt{2} π$

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ， O是AC的中点，点P在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，若直线OP与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $c o s θ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{7}}{3}]$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $S_{3}$ ， $S_{9}$ ， $S_{6}$ 成等差数列，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} + a_{5} = 2 a_{8}$ B、 $a_{3} + a_{6} = 2 a_{9}$ C、 $a_{8}^{2} = a_{2} \cdot a_{5}$ D、 $a_{9}^{2} = a_{3} \cdot a_{6}$

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1 (0 < k < 1)$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上 B、双曲线 $C$ 的焦距等于 $4 \sqrt{2}$ C、双曲线 $C$ 的焦点到其渐近线的距离等于 $\sqrt{1 - k}$ D、双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为 $(1 ， \frac{\sqrt{10}}{3})$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, E F$ 是棱 $A B$ 上的一条线段，且 $E F = 1$ ，点 $Q$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下面结论中正确的是（）

A、 $P Q$ 与 $E F$ 一定不垂直 B、 $△ P E F$ 的面积是 $2 \sqrt{2}$ C、点P到平面 $Q E F$ 的距离是定值 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、二面角 $P - E F - Q$ 的正弦值是 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 3, 1, 5), \vec{b} = (1, x, - 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $x$ 等于．

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13. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上的点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足不等式 $2 a_{n} \leq a_{n - 1} + a_{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*} ， n \geq 2$ ），对于数列 ${a_{n}}$ 给出以下四个结论：
① $a_{4} - a_{3} \geq a_{3} - a_{2}$ ；
② 数列 ${a_{n}}$ 一定是递增数列；
③ 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式可以是 $a_{n} = 2^{n}$ ；
④ 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式可以是 $a_{n} = n^{2} - 6 n$ .
所有正确结论的序号是.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P (- 1, 2)$ ，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为 $α$ .

(1)、当 $a = 135 °$ 时，求 $A B$ 的长；

(2)、当弦 $A B$ 被点P平分时，求直线l的方程.

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16. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₃=12，且S₁₂>0，S₁₃<0.
（1）求公差d的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.

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17. 已知点 $P (1, m)$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $F$ 为焦点，且 $|P F| = 3$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $T (4, 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B}$ 的值.

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18. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点， $A B = A C =2 \sqrt{5}$ ， $B C =4$ ．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2．

(1)、求证： $A_{1} O ⊥ B D$ ；

(2)、求直线A₁E和平面A₁OC所成角的正弦值；

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{A_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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19. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 为顶点的三角形的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A 、 B$ 和 $C 、 D$ .
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} · k_{2} = 1$ ；
（Ⅲ）是否存在常数 $λ$ ，使得 $|A B| + |C D| = λ |A B| · |C D|$ 恒成立？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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