四川省川南川东北地区名校2024-2025学年高一上学期12月期末联考数学试题

试卷更新日期：2024-12-28 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 4\}$ ，集合 $B = {x ∣ \sqrt{x} < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 4\}$ D、 $\{- 1, 4\}$

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2. 已知 $a > b > 0$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $|a| > |b|$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$

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3. 已知命题 $p : \forall x \in R, e^{x} > 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \in R, e^{x} \leq 0$ B、 $\exists x \in R, e^{x} \leq 0$ C、 $\exists x \in R, e^{x} < 0$ D、 $\exists x \in R, e^{x} > 0$

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4. 已知点 $P (x, y)$ 是角 $α$ 终边上除原点外任意一点， $α = \frac{2 π}{3}$ ，则 $\frac{y}{x} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 下列图象可能为幂函数图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $f (x) = \frac{lg (x^{2} - 3 x + 2)}{\sqrt{4 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 1) \cup (2, 4)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(1, 2)$

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7. 某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量 $f (v)$ （单位：千辆/小时）与车速 $v$ （单位：公里/小时）近似满足 $f (v) = 200 \times \frac{v - 10}{v^{2} - 20 v + 2600} (v > 10)$ ，为保障最大车流量，应建议车速 $v$ 为（）

A、50 B、60 C、70 D、80

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} - 2 - a, x \leq 0 \\ - {(x - 1)}^{2} - a + 1, x > 0 \end{array}$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0]$ B、 $[- 1, 0)$ C、 $[- 1, 0] \cup \{1\}$ D、 $(- 1, 0) \cup \{1\}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} |x - 3| + 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象经过定点A，且点A在角 $θ$ 的终边上，则 $\cos θ$ 的值可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ B、 $\frac{4 \sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 已知函数 $f (x) = lg (7 - x) + lg (x - 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(3, 7)$ B、 $f (x)$ 在定义域内单调递减 C、 $f (x)$ 的最大值为 $2 lg 2$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 5$ 对称

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $x^{2} - 2 x \leq 0$ 是 $x \geq a$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, 2]$ B、设 $a > 0, b > 0$ ，则 ${log}_{2} a > {log}_{2} b > 0$ 是 $a > b > 1$ 的充要条件 C、已知 $f (x) = lg (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + x^{3}$ ，则对任意实数 $a, b, f (a) + f (b) \geq 0$ 是 $a + b \geq 0$ 的充要条件 D、如果对于任意实数 $x, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[π] = 3, [0.6] = 0$ ， $[- 1.6] = - 2$ ，则 $[x] = [y]$ 是 $|x - y| < 1$ 的必要不充分条件

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在边长为 $4 \sqrt{3}$ 的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为.

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13. 若正实数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 9$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为.

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14. 下列命题：
①函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调递增区间为 $(2, + \infty)$ ；
②将函数 $y = {log}_{2} x$ 的图象先关于 $x$ 轴对称，再将其图象向左平移 $1$ 个单位后的函数解析式为 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (x + 1)$ ；
③将函数 $y = ln x$ 的图象先关于 $y = x$ 对称，再将其图象关于 $y$ 轴对称后的函数解析式为 $y = \frac{1}{e^{x}}$ ；
④若函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} + a x + 1)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, - 2] \cup [2, + \infty)$ .
其中正确的序号为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{x ∣ m \leq x \leq 2 m - 1\}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16. 已知实数 $a$ 满足 $a + {(2^{2 - \sqrt{2}})}^{2 + \sqrt{2}} \geq {(\sqrt{2} + 1)}^{0} \times 3^{1 - {log}_{3} 2} \times {(\frac{9}{16})}^{- \frac{1}{2}}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + x < a x + a$ .

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17. 已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象经过点 $(2, 4)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x) - m}{f (x) + m} (m > 0)$ 是奇函数，
①求实数 $m$ 的值；
②判断并用定义法证明函数 $g (x)$ 的单调性.

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18. 猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用 $x (x \in N^{*})$ 表示经过的单位时间数，用 $y$ 表示猴痘感染人数.
$x$
$\dots$
2
4
6
8
$\dots$
$y$
$\dots$
8
64
511
4097
$\dots$

(1)、请从 $y = m \cdot x^{n} (m \neq 0, n \neq 0)$ 与 $y = k \cdot a^{x} (k \neq 0, a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式；

(2)、求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414, lg 2 \approx 0.301$ ）

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19. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (1 + 2^{x}) - \frac{1}{2} x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、若函数 $F (x) = m \cdot 2^{f (x) + \frac{1}{2} x} + 4^{x}$ ，请判断是否存在实数 $m$ 使得 $F (x)$ 有两个零点，其中一个在 $(0, 1)$ 之间，另一个在 $(1, {log}_{2} 3)$ 之间，若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由；

(3)、若函数 $G (x) = n \cdot 4^{x} - 2^{f (x) + \frac{1}{2} x} - 2 (n \geq 0)$ ，当 $x \in [{log}_{2} 3, {log}_{2} 5]$ 时，记 $G (x)$ 的最小值为 $h (n)$ ，求 $h (n)$ .

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$x$	$\dots$	2	4	6	8	$\dots$
$y$	$\dots$	8	64	511	4097	$\dots$