贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期12月期末统考数学试题

试卷更新日期：2025-01-03 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 过点 $A (3, - 2)$ 和点 $B (2, 5)$ 的直线的斜率为（）

A、7 B、 $- 7$ C、 $- 3$ D、3

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2. 英文单词mango所有字母组成的集合记为 $A$ ，英文单词banana所有字母组成的集合记为 $B$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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3. 复数 $\frac{i}{2 - i} + \frac{1}{5}$ 的模为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、1 D、 $\frac{2}{5}$

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4. 将函数 $f (x) = 10 sin 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{16}$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $10 sin (4 x - \frac{π}{4})$ B、 $10 sin (4 x + \frac{π}{4})$ C、 $10 sin (4 x - \frac{π}{16})$ D、 $10 sin (4 x + \frac{π}{16})$

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5. 青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为 $\frac{1}{4}$ 米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（）

A、 $\frac{5 π}{96}$ 立方米 B、 $\frac{5 π}{192}$ 立方米 C、 $\frac{π}{64}$ 立方米 D、 $\frac{7 π}{192}$ 立方米

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6. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过原点且斜率不为0的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则四边形 $F_{1} A F_{2} B$ 的面积的最大值为（）

A、20 B、24 C、18 D、28

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7. 已知向量 $\vec{O M} = (2, 1, 2), \vec{O N} = (- 2, 1, 1), \vec{O P} = (8, 6, λ)$ ，若 $O, M, N, P$ 四点共面，则向量 $\vec{O P}$ 在 $\vec{O M}$ 上的投影向量的模为（）

A、12 B、 $\frac{22}{3}$ C、 $\frac{44}{9}$ D、 $\frac{44}{3}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，位于第一象限的 $P$ 为该双曲线的一条渐近线 $l$ 上一点，直线 $P F_{2} ⊥ l, Q$ 为该双曲线的左支上一点，若 $△ P Q F_{2}$ 的周长的最小值为 $|P F_{1}| + 3 a$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知点 $(m, 3)$ 在圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 6 = 0$ 的外部，则 $m$ 的值可能为（）

A、0 B、4 C、2 D、 $- 1$

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10. 如图，在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，正方体 $O B C D - O_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，且 $\vec{O E} = \frac{1}{3} \vec{O C_{1}}$ ，则（）

A、 $\vec{D E} = (1, - 2, 1)$ B、 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{O B} - \frac{1}{3} \vec{O D} + \frac{2}{3} \vec{O O_{1}}$ C、异面直线 $D E$ 与 $O B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、点 $B$ 到直线 $D E$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 不是奇函数，且 $\exists x \in R, f (- x) = - f (x)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $\exists x \in R, f (- x) \neq - f (x)$ C、 $f (x)$ 的解析式可以是 $f (x) = - |x| + 1$ D、 $f (x)$ 的解析式可以是 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2, x \geq 0 \\ x, x < 0 \end{array}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若直线 $l_{1} : a x + y = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (2 - a) y + 6 = 0$ 平行，则 $a =$ ．

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13. 随机敲击电脑键盘上的1，2，3这三个数字键两次（每次只敲击其中一个数字键），得到的两个数字恰好都是奇数的概率为．

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14. 如图，正八面体 $A B C D E F$ 的每条棱长均为 $10 \sqrt{2}, A F$ 与 $B D$ 交于点 $O, \vec{O A} = 5 \vec{O H}, M$ 为正八面体 $A B C D E F$ 内部或表面上的动点.若 $\vec{D F} \cdot \vec{M H} = 0$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 当 $m$ 为何值时，方程 $\frac{x^{2}}{11 - m} + \frac{y^{2}}{2 m - 1} = 1$ 表示下列曲线：

(1)、圆；

(2)、椭圆；

(3)、双曲线．

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16. 已知直线 $l : m x + y - 2 m = 0$ ，圆 $C : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求直线 $l$ 被圆 $C$ 所截得的弦长；

(2)、已知直线 $l$ 过定点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，求点 $P$ 的坐标及该切线方程．

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 3 \vec{A D}, B D = 4, ∠ A D B = 60 °$ ，且 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} = 2$ ．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、求 $C D$ 的长；

(3)、求 $cos 2 C$ ．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C = C_{1} C, A_{1} C_{1} = A_{1} B_{1}, A_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}, A_{1} C ⊥ A_{1} B$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ B B_{1}$ ．

(2)、求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值．

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19. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，且 $C_{1}$ 经过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．椭圆 $C_{2}$ 的对称中心为原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，且 $C_{2}$ 的离心率与 $C_{1}$ 的离心率相等， $C_{2}$ 的短轴长与 $C_{1}$ 的长轴长相等．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

(2)、若 $H (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq \pm \sqrt{2}, y_{0} \neq \pm 1)$ 为 $C_{2}$ 上的点，过点 $H$ 作 $C_{1}$ 的切线，设切点分别为 $M, N$ ，试问直线 $H M$ 与 $H N$ 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

(3)、若 $T$ （异于 $C_{1}$ 的左、右顶点 $A_{1}, A_{2}$ ）为椭圆 $C_{1}$ 上的点，直线 $T A_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于点 $E, F$ ，直线 $T A_{2}$ 与 $C_{2}$ 交于点 $P, Q$ ，求 $|E F| + |P Q|$ 的值．

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