湖南省名校教育联盟2024-2025学年高三上学期12月大联考数学试题

试卷更新日期：2024-12-25 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x ∣ 2^{x} \leq 3\}$ ， $B = \{x ∣ x = 2 n - 1, n \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\emptyset$

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2. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{4} = 3$ ， $a_{2} + a_{5} = 6$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、27 B、24 C、21 D、18

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3. 已知复数 $z_{1}$ 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 $\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{2}{{(1 + i)}^{2}}$ ，则复数 $z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知向量 $\vec{a} = (cos θ, 1)$ ， $\vec{b} = (1, sin θ)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\frac{3 - cos 2 θ}{sin θ + cos θ}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 已知 $f (x) = \frac{2^{x} \cdot sin x}{2^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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6. 将函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）

A、6 B、5 C、3 D、2

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ 是椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于另一点 $P$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = |P F_{2}|$ ，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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8. 定义 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x$ 为 $f (x)$ 的“坚定点”，已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，则下列函数中，不存在“坚定点”的是（）

A、 $f (x) = a sin x$ B、 $f (x) = ln a x$ C、 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + a x + a$ D、 $f (x) = e^{a x}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．

9. 已知 $x > y > 0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $\frac{x + y}{\sqrt{x y}} > 2$ C、 ${0.2}^{x} > {0.2}^{y}$ D、 $\frac{1}{ln x} < \frac{1}{ln y}$

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10. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的动点（包括端点），点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）

A、存在唯一的 $M$ ， $P$ ，使得 $M P ⊥ A C_{1}$ B、存在唯一的 $M$ ， $P$ ，使得 $M P / / A C_{1}$ C、若 $M$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，且 $M P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若 $M$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $M P + P A_{1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{2}$

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11. 在平面直角坐标系中，已知 $F_{1} (- 3, 0)$ ， $F_{2} (3, 0)$ ， $O$ 为原点， $P$ 为平面内的动点，且 $P H$ 垂直于 $y$ 轴，垂足为 $H$ ，则满足下列条件的动点 $P$ 的轨迹为椭圆的是（）

A、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 10$ B、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| + {|P O|}^{2} = 41$ C、 $\frac{|P H|}{|P F_{1}| + |P F_{2}|} = \frac{5}{6}$ D、 $\frac{|P H|}{||P F_{1}| - |P F_{2}||} = \frac{5}{6}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 写出一个半径为 $\sqrt{13}$ ，且与直线 $2 x - 3 y + 6 = 0$ 相切于点 $(3, 4)$ 的圆的方程：．

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13. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，若直线 $l : a x + b y + c = 0$ 与曲线 $y = e^{x - 1} + ln x - 3$ 相切，则 $\frac{b + c}{a} =$ ．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = C D = \sqrt{5}$ ， $A D = B C = 3$ ， $B D = 2$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A - B C D$ ，且 $A C = \sqrt{6}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $△ A B C$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{4} (b^{2} - a b) tan C$ ．

(1)、证明： $C = 2 A$ ；

(2)、若 $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线，交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $a = \frac{6}{5}$ ， $C D = 1$ ，求 $B D$ 的长．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A D = D C = 2$ ， $A B = 4$ ， $△ P B D$ 为等边三角形，且平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、作出点 $B$ 在平面 $P A D$ 的射影 $E$ ，并证明；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P A D$ 的夹角的余弦值．

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17. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $Q$ ，且由点 $P$ ， $Q$ ， $A$ ， $B$ 组成的以 $P A$ 为一边的四边形的面积为 $\frac{9}{2}$ ，求 $l$ 的方程．

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18. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x < 0$ 时， $f (x) < a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (x) = b$ 有两个不相等的正实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $\sqrt{3} - 1 < x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} < \frac{b + 2 b e + 4 e^{2}}{2 e^{2}}$ ．

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19. 某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．

(1)、假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；

(2)、假设代仕同学有 $n$ 点积分，该同学用完 $n$ 点积分的方式种数记为 $a_{n}$ ，求 $a_{n}$ 表达式；

(3)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{2 n - 1}}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{4}{3}$ ．

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