浙江省北斗星盟2024-2025学年高二上学期12月阶段性联考数学试题

试卷更新日期：2024-12-24 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若直线l的一个方向向量为 $(- 1, \sqrt{3})$ ，求直线的倾斜角（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
2. 已知圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 32$ ，则以下选项中与圆 $C_{1}$ 内切的圆的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 18$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$

查看试题解析
3. 已知双曲线的方程是 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，它的两个焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2}, M$ 是双曲线上的一点，且 $|M F_{1}| = 7$ ，则 $|M F_{2}|$ 的值为（）

A、1 B、13 C、1或13 D、4或10

查看试题解析
4. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = 9$ ， $S_{4} = 32$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
5. 已知 $A (0, 1, 1)$ ， $B (1, 0, 1)$ ， $C (1, 1, 0)$ ， $D (3, 0, 2)$ ，则点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{33}}{11}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
6. 在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D / / B C$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{A_{1} D_{1}}$ ，且 $A A_{1} = A B = B C = 2 A D = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}} (λ \in [0, 1])$ ，则直线 $C P$ 与平面 $A B C D$ 所成角正弦值的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$

查看试题解析
7. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ ， $N$ 在 $C$ 上，且点 $M$ ， $N$ 关于原点 $O$ 对称，当 $2 |M F_{2}| = |N F_{2}|$ 时， $∠ F_{1} M F_{2} = 120 °$ ，当点 $M$ 在椭圆 $C$ 上运动时，四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 面积的最大值是 $2 \sqrt{14}$ ，则椭圆 $C$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、6 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{7}$

查看试题解析
8. 记圆锥 $C C_{1}$ 的侧面是曲面 $α$ ，且曲面 $α \cap$ 平面 $β = l$ ，其中 $l$ 是圆锥 $C C_{1}$ 的一条母线，则称平面 $β$ 是“ $Π$ 平面”，“ $Π$ 平面”上不与 $l$ 平行且不与 $l$ 重合的直线称为“圆锥的斜切直线”．已知直线 $a$ 是圆锥 $C C_{1}$ 的“斜切直线”，且直线 $a$ 经过圆锥 $C C_{1}$ 某条母线的中点，若圆锥 $C C_{1}$ 的体积是 $24 \sqrt{3} π$ ，底面面积是 $36 π$ ，且圆锥底面中心 $C$ 到直线 $a$ 的距离是 $\sqrt{10}$ ，则直线 $a$ 与圆锥底面夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

查看试题解析

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，直线 $l : 2 x - y + 2 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则以下四个选项中正确的是（）

A、圆 $C$ 的圆心坐标是 $(1, 2)$ B、 $|A B| = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ C、 $C A ⊥ C B$ D、 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
10. 如图，把正方形纸片 $A B C D$ 沿着 $A E$ （ $E$ 是线段 $B C$ 的中点）翻折成平面 $A B^{'} E$ ， $O$ 是原正方形的中心，则在翻折过程中，以下说法正确的是（）

A、 $B B^{'} ⊥ A E$ B、 $A B^{'}$ 与 $B D$ 所成角的最大值是 $\frac{π}{2}$ C、若 $F$ 是 $C D$ 的中点，则 $B^{'} F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值的最大值是 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、过 $B$ 做 $A E$ 的垂线与 $A E$ 交于点 $H$ ， $∠ B H B^{'} \geq ∠ B A B^{'}$

查看试题解析
11. 已知曲线 $Γ : x^{2} + y^{2} = n |x| + n |y| (n > 0)$ ，直线 $l$ 经过点 $A (a, 0)$ ，则以下说法正确的是（）

A、记曲线 $Γ$ 围成的面积是 $S$ ，则 $S = (2 + π) n^{2}$ B、若 $a = 0$ ，直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于不同的两点 $B, C, |B C|$ 的最小值是 $2 n$ C、当 $a > n$ 时，有2条不同的直线 $l$ ，直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 有3个不同的交点 D、若 $a = 3$ ，设点 $B$ 是曲线 $Γ$ 上的任意一点，则 $|A B| \leq \sqrt{2} n + 3$

查看试题解析

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} a_{3} a_{5} = 8$ ，则 $a_{3} =$ ．

查看试题解析
13. 在棱长为 $6$ 的正方体 $O A B C - O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是线段 $O A, O C$ 上的动点，直线 $O O_{1}$ 和平面 $O_{1} E F$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则点 $B$ 到直线 $E F$ 的最大距离为．

查看试题解析
14. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．在直线 $x = 4$ 上有一动点 $P (4, m)$ ，过点 $P$ 作两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 与椭圆 $Γ$ 相切于点 $D$ ， $l_{2}$ 经过点 $F_{1}$ 与椭圆交于点 $B$ ， $C$ 当 $∠ D F_{2} B = \frac{π}{2}$ 时， $m =$ ．

查看试题解析

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 是公比不为1的等比数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{3} = 7 a_{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的公比；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列且 $a_{1} = 1$ ，求数列 $\{2 n \cdot a_{2 n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(- 2 \sqrt{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ ，点 $P$ 是椭圆上的动点，左右焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A，B两点， $△ F_{1} A B$ 的周长为16．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若椭圆上有且只有3个点到直线 $l : 3 x - 4 y + m = 0, (m > 0)$ 的距离为1，求 $m$ .

查看试题解析
17. 如图，三角形 $P A B$ 和菱形 $A B C D$ 所在平面垂直，且 $P A = A B = 2$ ， $∠ A B C = 60^{°}$ ．线段 $B C$ 的中点为 $E$ ．

(1)、当 $D P = 2 \sqrt{2}$ 时，证明：直线 $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当 $D P = 3$ 时，求平面 $P A B$ 和平面 $P D E$ 夹角的正弦值．

查看试题解析
18. 已知平面上的动点 $P$ 到点 $F (0, 1)$ 的距离与直线 $y = - 1$ 的距离相等．

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、已知圆 $C$ 方程是 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，过点 $P$ 的两条直线分别与圆 $C$ 相切于点 $A$ ， $B$ ．
（i）记四边形 $P A C B$ 的面积是 $S$ ，若 $S \leq 8$ ．求点 $P$ 纵坐标的取值范围；
（ii）设直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率是 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $∠ A P B \leq \frac{π}{3}$ ，求 $|k_{1} - k_{2}|$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 取整函数被广泛的应用于数论，函数绘图和计算机领域，其定义如下：设 $x \in R$ ，不超过 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分，记作 $[x]$ ，函数 $y = [x]$ 称为取整函数．另外也称 $[x]$ 是 $x$ 的整数部分．已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = n^{2} - n$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\sum_{i = 1}^{k} [\sqrt{a_{i}}] = 34$ ，其中 $k \in N^{*}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、求证： $\sum_{i = 1}^{m^{2} + 2 m} [\sqrt{a_{i} + 1} + \sqrt{a_{i + 1} + 1}] + S_{m}$ 为8的倍数，其中 $m \in N^{*}$ ．（参考公式： $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

查看试题解析