浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2025-01-10 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题：每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 将 $37^{\circ} 3 0^{'}$ 化为弧度是（）

A、 $\frac{5 π}{24}$ B、 $\frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{48}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

查看试题解析
2. 已知角 $θ$ 的终边过点 $(5, - 12)$ ，则 $cos (\frac{π}{2} + θ) =$ （）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $- \frac{12}{13}$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1, |\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是（）

A、 $\frac{\vec{a}}{8}$ B、 $\frac{\vec{a}}{4}$ C、 $\frac{\vec{b}}{4}$ D、 $\frac{\vec{b}}{2}$

查看试题解析
4. 将函数 $y = f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $cos 4 x$ B、 $cos (4 x - \frac{π}{3})$ C、 $cos (x - \frac{5 π}{24})$ D、 $cos (x - \frac{π}{8})$

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3}) - x + \frac{π}{6}$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
6. 在 $[0, 2 π)$ 内函数 $f (x) = \sqrt{sin x - {sin}^{2} x} + lg (2 cos 2 x - 1)$ 的定义域是（）

A、 $[0, \frac{5 π}{6})$ B、 $(\frac{π}{3}, π]$ C、 $[0, \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, π]$ D、 $[0, \frac{π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, π]$

查看试题解析
7. 已知等边三角形 $△ A B C$ 的边长为2，点 $P$ 为 $△ A B C$ 内切圆上一动点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $3 x + 3 y$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- 1$

查看试题解析
8. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}, 0 < β < \frac{π}{2}$ 且 $3 sin β = sin (2 α + β)$ ，则 $tan β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析

二、多选题：本题共3小题：每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，下列说法不正确的有（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、 $|\vec{a} + \vec{c}| \leq |\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{b} - \vec{c}|$ D、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3}) - 2 {sin}^{2} (\frac{π}{6} - x)$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{24}, 0)$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ 单调递增 C、函数 $f (x + \frac{7 π}{24})$ 为偶函数 D、函数 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 内有4个零点

查看试题解析
11. 已知 $0 < x < y < 1, 0 < θ < \frac{π}{4}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 ${(\frac{sin x}{x})}^{2} < \frac{sin x}{x}$ B、 $x sin y < y sin x$ C、 ${(sin θ)}^{{log}_{x} sin θ} > {(cos θ)}^{{log}_{x} tan θ}$ D、若 $sin y = y cos x$ ，则 $\frac{y}{2} < x$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 一个扇形的周长为 $24 + 8 π$ ，面积为 $48 π$ ，则此扇形的圆心角为.（用弧度制表示）

查看试题解析
13. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是平面内不共线的一组基底， $\vec{A C} = 3 \vec{a} + k \vec{b}, \vec{B C} = 2 \vec{a} + 4 \vec{b}, \vec{C D} = 4 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，若 $A, B, D$ 三点共线，则实数 $k =$ .

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{6})$ ，其中 $ω > 0$ ，在 $(2, 5]$ 上有6个零点，则 $ω$ 的范围为.

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $M$ 为 $A B$ 中点，点 $N$ ， $P$ 在线段 $B D$ 上，满足 $\vec{D P} = \vec{P N} = \vec{N B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示向量 $\vec{M P}$ ；

(2)、若 $|\vec{A B}| = \sqrt{3}, |\vec{A D}| = 1, ∠ D A B = \frac{π}{6}$ ，求 $|\vec{M N}|$ .

查看试题解析
16. 已知 $α \in (0, π), β \in (0, \frac{π}{2}), sin (β - α) = \frac{4}{5}, cos (α + β) = \frac{5}{13}$ .

(1)、分别求 $cos (β - α)$ 和 $sin (α + β)$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值.

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{6}) + \sqrt{3} {cos}^{2} x + sin x cos x$ .

(1)、若 $A$ 是三角形中一内角，且 $f (\frac{2}{3} A) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $A$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{f (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}} - m$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}]$ ，有唯一零点，求 $m$ 的范围.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $f (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{6}, m)$ 的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$ ，求 $m$ 的取值范围；

(3)、将 $f (x)$ 图象上所有点纵坐标缩短为到原来的 $\frac{1}{2}$ （横坐标不变），再将所得到图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象.已知关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) = n$ 在 $[0, π)$ 内有两个不同的解 $α, β$ .
①求实数 $n$ 的取值范围；
②求 $cos (2 α - 2 β)$ 的值.（用 $n$ 表示）

查看试题解析
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数.当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似的我们可以定义双曲正弦函数 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .它们与正，余弦函数有许多类似的性质.

(1)、已知 $sinh θ = 1$ ，求 $cosh θ$ ；

(2)、类比正弦函数，余弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数（或双曲余弦函数）的一个正确的结论（即求 $sinh 2 x$ 或 $cosh 2 x$ ）并证明；

(3)、已知 $f (x) = {(cosh 2 x + 5 + m)}^{2} + {(λ \cdot cosh x + m)}^{2}$ ，对任意的 $m \in R$ 和任意的 $x \in [- 1, 1]$ ，都有 $f (x) \geq \frac{1}{2}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

查看试题解析