广西部分学校2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试数学试题（北师大版）

试卷更新日期：2025-01-07 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（）

A、120 B、15 C、25 D、90

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2. 已知直线 $a x + 4 y + 5 = 0$ 与直线 $5 x + (a - 1) y + a = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、4 B、 $\frac{4}{9}$ C、 $- 4$ 或5 D、 $- 4$

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3. $985^{211}$ 被6除的余数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{30}$ ，实轴长为 $6 \sqrt{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{6} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} x$

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5. 已知 ${(2 x - 1)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025} = 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2025} = \frac{1 + 3^{2025}}{2}$ D、 $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2025}}{2^{2025}} = 1$

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6. 甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（）

A、150 B、243 C、183 D、393

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7. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在棱 $B B_{1}, D D_{1}$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}, D F = \frac{1}{3} D D_{1}$ .若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x y z =$ （）

A、 $- \frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{25}{12}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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8. 已知 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 12 x$ 上的动点， $M$ 是抛物线的准线 $l$ 上的动点， $N (0, 4)$ ，则 $|P M| +$ $|P N|$ 的最小值是（）

A、5 B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若点 $A (m, 4)$ 和点 $B (- 1 - m, 3)$ 关于直线 $l : x + n y - 3 = 0$ 对称，则（）

A、 $m = 0$ B、 $m = 1$ C、 $n = 1$ D、 $n = - 1$

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10. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (m, n \in Z)$ 的面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，则该椭圆的离心率可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{33}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = 2 \sqrt{5}, A B = 2 \sqrt{2}, \vec{P E} = \frac{1}{2} \vec{P B}, \vec{P F} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ，则（）

A、 $|\vec{E F}| = \frac{\sqrt{29}}{3}$ B、异面直线 $A E, C F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{26}}{78}$ C、向量 $\vec{A E}$ 在向量 $\vec{C F}$ 上的投影向量为 $\frac{5}{52} \vec{C F}$ D、直线 $A E$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{9}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在四面体 $O A B C$ 中，空间的一个点 $M$ 满足 $\vec{O M} = - \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + m \vec{O C}$ ，若 $M, A, B, C$ 四点共面，则 $m =$ .

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13. ${(x^{2} - 2 x - y + 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{2}$ 的系数为.

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14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点 $A$ ， $B$ 的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (3, 1)$ ， $B (3, - 3)$ ， $P$ 是满足 $λ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为；若该阿氏圆在点 $P$ 处的切线与直线 $l : x + 2 y + 6 = 0$ 交于点 $Q$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知圆 $M$ 的圆心在直线 $y = 3 x + 1$ 上，且点 $A (1, 2)$ ， $B (- 1, 4)$ 在 $M$ 上.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 经过点 $C (0, 4)$ ，且 $l$ 与圆 $M$ 相交于D，E两点，求 $|D E|$ .

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16. 已知动点 $M$ 到点 $(6, 0)$ 的距离比它到直线 $x + 8 = 0$ 的距离小2，记动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，若线段 $A B$ 的中点坐标为 $(4, - 2)$ ，求直线 $l$ 的方程.

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17. 如图，在多面体 $A B C D F E$ 中， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $F C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $△ F C D$ 为等腰直角三角形，且 $C F ⊥ D F$ ， $A D = C D = 2 A B = 2 A E$ ．

(1)、证明： $B F ∥$ 平面 $A D E$ ．

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $D E F$ 的夹角的余弦值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，△ $P A D$ ， △ $P A B$ 均为等边三角形， $\cos ∠ B A D$ $= \frac{1}{4}$ ．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ．

(2)、若点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{1}{3}$ ，且点 $(1, \frac{8}{3})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M (0, \frac{1}{2}), F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左，右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点， $Q$ 是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，求 $|M Q|$ 的最大值.

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