湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一上学期12月期末数学试题

试卷更新日期：2024-12-27 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 给出下列四个命题：
①若集合A，B满足 $A \cap B = A$ ，则 $A \subseteq B$ ；
②给定命题 $p, q$ ，若“ $p \lor q$ ”为真，则“ $p \land q$ ”为真；
③设 $a, b, m \in R,$ 若 $a < b$ ，则 $a m^{2} < b m^{2}$ ；
④若直线 $l_{1} : a x + y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $a = 1$ ．
其中正确命题的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
2. 已知集合 $M =$ { $0$ ， $3$ }，则 $M$ 的真子集个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

查看试题解析
3. 当 $x > 0, y > 0$ 时， “ $x + y \leq 2$ ”是“ $x y \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

查看试题解析
4. 已知实数 $a, b, c$ 满足 $\frac{e^{2 a}}{2} = \frac{e^{3 b}}{3} = \frac{e^{5 c}}{5} = 2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = |tan (ω x + φ)| (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $2 π$ ，直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴，则 $f (x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(2 k π - \frac{π}{6}, 2 k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $(2 k π - \frac{5 π}{3}, 2 k π - \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ C、 $(2 k π - \frac{4 π}{3}, 2 k π - \frac{π}{3}] (k \in Z)$ D、 $(2 k π - \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

查看试题解析
6. 函数 $y = x$ ， $y = \sqrt{x}$ 和 $y = \frac{1}{x}$ 的图像都通过同一个点，则该点坐标为（）

A、 $(1, - 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(1, 2)$

查看试题解析
7. 若 $a = l n 3 ， b = l g 5 ， c = l o g_{12} 6$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

查看试题解析
8. 下列四个结论中正确的个数是（）
①“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”是“ $x > 1$ ”的充分不必要条件；
②命题：“ $\forall x \in R$ ， $\sin x \leq 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \notin R$ ， $\sin x_{0} > 1$ ”；
③“若 $x = \frac{π}{4}$ ，则 $\tan x = 1$ ”的否命题为真命题．

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析

二、多选题

9. 已知 $a, b$ 均为正数，则使得“ $a > b$ ”成立的充分条件可以为（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $|a - 3| > |b - 4|$ C、 $a^{2} b + b > a b^{2} + a$ D、 $ln (a^{2} + 2024) > ln (b^{2} + 2024)$

查看试题解析
10. 已知 $a, b > 0, a + b^{2} = 1$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $3^{a - b} \leq \frac{1}{3}$ B、 $b \sqrt{a}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + b < \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{16}{5}$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 在 $x = \frac{5 π}{12}$ 处取得极小值 $- 2$ ，与此极小值点最近的 $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 cos (2 x + \frac{π}{6})$ B、将 $y = 2 sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度即可得到 $f (x)$ 的图象 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2})$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $1$ B、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称

查看试题解析

三、填空题

13. 若2^a=5^b=10，则 $\frac{2}{a} + \frac{2}{b}$ =

查看试题解析
14. 下列说法中错误的是（填序号）
①命题“ $\exists x_{1}, x_{2} \in M, x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{2} - x_{1}) > 0$ ”的否定是“ $\forall x_{1}, x 2 \notin M, x_{1} \neq x_{2}$ ”，有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{2} - x_{1}) \leq 0$ ”；
②已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为 $5 + 2 \sqrt{6}$ ；
③设 $x, y \in R$ ，命题“若 $x y = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2} = 0$ ”的否命题是真命题；
④已知 $p : x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ， $q : \frac{1}{3 - x} > 1$ ，若命题 $(\neg q) \land p$ 为真命题，则 $x$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3) \cup (1, 2) \cup [3, + \infty)$ .

查看试题解析
15. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，黄金分割比还可以表示成 $2 s i n 18 °$ ，则 $\frac{m \sqrt{4 - m^{2}}}{1 - 2 \sin^{2} 27^{\circ}} =$ ．

查看试题解析

四、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \sin ω x \cos ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．
（1）求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；
（2）当 $x \in [0, \frac{7 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间及取值范围．

查看试题解析
17. 函数 $f (x) = |2 x - 1| + |x - 2| + 1$
（1）若方程 $f (x) = m$ 无实根，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）记 $f (x)$ 的最小值为 $n$ .若 $a$ ， $b > 0$ ，且 $5 a + 5 b = 2 n$ ，证明： $a + 4 b - 9 a b \geq 0$ .

查看试题解析
18. 某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数 $h (t) = A \sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}, 0 \leq t < 24)$ ，其中 $h$ 为水深（单位：米）， $t$ 为时间（单位：小时），该函数图象如图所示.

(1)、求函数 $h (t)$ 的解析式；

(2)、若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？

查看试题解析
19. 把函数 $f (x) = 2 \sin x$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，记函数 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ .
（1）求函数 $y = h (x)$ 的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数 $y = h (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的大致图象.

查看试题解析
20. 设函数 $f (x) = \sin 2 x$ ， $x \in R$ .
（Ⅰ）已知 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，函数 $g (x) = f (x + θ)$ 关于直线 $y = \frac{π}{6}$ 对称，求 $θ$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{12})]}^{2} + {[f (x + \frac{π}{4})]}^{2}$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的值域.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象的对称中心；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值.

查看试题解析