2025高考一轮复习（人教A版）第四十六讲二项式定理

试卷更新日期：2024-12-26 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 设 ${(1 + a x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{5} = - 2$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ （）

A、120 B、 $- 120$ C、40 D、 $- 40$

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2. 如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为 $m$ ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 $n$ ，则 ${(\frac{n}{m} x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、 $- 15$ B、 $- 20$ C、15 D、20

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3. 二项式 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中仅有第5项系数最大，则 $(\sqrt{x} + 1) {(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中x的系数为（）

A、 $- 56$ B、 $- 28$ C、28 D、56

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4. 已知 ${(x + 1)}^{2021} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2020} x^{2020} + a_{2021} x^{2021}$ ，则 $a_{1} + a_{5} + a_{9} + \dots + a_{2021} =$ （）

A、 $2^{2019} + 2^{1009}$ B、 $2^{2019} - 2^{1009}$ C、 $2^{2021} + 2^{1011}$ D、 $2^{2021} - 2^{1011}$

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5. 已知函数 $f (x) = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \frac{1}{3} C_{n}^{3} x^{3} + \frac{1}{5} C_{n}^{5} x^{5} + \dots + \frac{1}{k} C_{n}^{k} x^{k} + \dots + \frac{1}{n} C_{n}^{n} x^{n}$ （k，n为正奇数）， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1) + f (0) =$ （）

A、 $2^{n}$ B、 $2^{n - 1}$ C、 $2^{n} + 1$ D、 $2^{n - 1} + 1$

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二、多项选择题

三、填空题

6. 我们称 $n (n \in N^{*})$ 元有序实数组 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为 $n$ 维向量， $|x_{1}| + |x_{2}| + \dots + |x_{n}|$ 为该向量的范数.已知 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x_{i} \in \{- 1, 0, 1\} (i = 1, 2, \dots n)$ ，记范数为奇数的 $\vec{a}$ 的个数为 $A_{n}$ ，则 $A_{3} =$ ； $A_{2 n} =$ （用含 $n$ 的式子表示， $n \in N^{*}$ ）.

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四、解答题

7. 在 ${(1 + x + x^{2})}^{n} = D_{n}^{0} + D_{n}^{1} x + D_{n}^{2} x^{2} + \dots + D_{n}^{r} x^{r} + \dots + D_{n}^{2 n - 1} x^{2 n - 1} + D_{n}^{2 n} x^{2 n}$ 中，把 $D_{n}^{0}$ ， $D_{n}^{1}$ ， $D_{n}^{2}$ …， $D_{n}^{2 n}$ 称为三项式系数.

(1)、当 $n = 2$ 时，写出三项式系数 $D_{2}^{0}$ ， $D_{2}^{1}$ ， $D_{2}^{2}$ ， $D_{2}^{3}$ ， $D_{2}^{4}$ 的值；

(2)、 ${(a + b)}^{n} (n \in N)$ 的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当 $0 \leq n \leq 4$ ， $n \in N$ 时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的 $n$ 次系数的数阵表；

(3)、求 $D_{2016}^{0} C_{2016}^{0} - D_{2016}^{1} C_{2016}^{1} + D_{2016}^{2} C_{2016}^{2} - D_{2016}^{3} C_{2016}^{3} + \dots + D_{2016}^{2016} C_{2016}^{2016}$ 的值（用组合数作答）.

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2025高考一轮复习（人教A版）第四十六讲 二项式定理

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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