广东省广州市番禺区石北中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-11-28 类型：期中考试

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一、单选题（每小题5分共40分）

1. 设向量 $\vec{a} = (1, m, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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2. 已知两个向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (4, m, n)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则点 $D_{1}$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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4. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, B B_{1} = 3$ ，则 $\vec{A B_{1}} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是边长为1的菱形，且 $∠ A D C = 120 °, P D = A D$ ，则（）

A、 $(\vec{D A} + \vec{D C}) \cdot \vec{D P} = 1$ B、 $(\vec{D P} + \vec{D B}) \cdot \vec{A D} = \frac{1}{2}$ C、 $\vec{C P} \cdot \vec{P A} = - \frac{1}{2}$ D、 $\vec{D C} \cdot \vec{B P} = \frac{1}{2}$

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6. 已知直线 $l : x - 2 y - m = 0$ 在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（）.

A、－2 B、－ $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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7. 已知直线 $l : x + y - 2 = 0$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + a = 0$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在椭圆上，当 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为1时， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 等于（）

A、0 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题（每小题6分，共18分）

9. 下列说法中正确的是（）

A、直线 $x + y + 1 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是 $1$ B、直线 $m x + y + m + 2 = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 1, - 2)$ C、点 $(0, 0)$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称的点为 $(1, - 1)$ D、过点 $(1, 2)$ 且在 $x$ 轴､ $y$ 轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

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10. 下列说法正确的是（）

A、直线 $y = a x - 3 a + 2 (a \in R)$ 必过定点 $(3 ， 2)$ B、直线 $y = 3 x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $- 2$ C、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60 °$ D、圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 的过点 $(- 1 ， 2)$ 的切线方程为 $x - 2 y + 5 = 0$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为边AD的中点，点P为线段 $D_{1} B$ 上的动点，设 $D_{1} P = λ D_{1} B$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，EP//平面 $A B_{1} C$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $|P E|$ 取得最小值，其值为 $\sqrt{2}$ C、 $|P A| + |P C|$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、当 $C_{1} \in$ 平面CEP时， $λ = \frac{1}{4}$

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三、填空题（每小题5分，共15分）

12. 过圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心且与直线 $x + y = 0$ 垂直的直线方程为．

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13. 若方程 $\frac{x^{2}}{6 - k} + \frac{y^{2}}{k - 2} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为.

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14. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $| A P | = | A B | = 2$ ， $| A D | = 4$ ， $E$ 是 $B C$ 上的点，直线 $P B$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $B E$ 的长为.

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四、解答题（共77分）

15. 求满足下列条件的直线 $l$ 的方程：

(1)、直线 $l$ 过点 $(- 2, 1)$ ，且与直线 $x + y - 3 = 0$ 平行；

(2)、直线 $l$ 过点 $(- 1, 2)$ ，且与直线 $x + 3 y + 1 = 0$ 垂直.

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16. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 3$ ，点E在棱AB上移动．

(1)、证明： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求平面 $A C D_{1}$ 的法向量．

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17. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点，P为C上一点.

(1)、若 $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，点P的坐标为 $(0, - 3)$ ，求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为4，求b的值.

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18. 已知圆C过 $A (1, - \sqrt{7})$ ， $B (6, 2 \sqrt{3})$ ，且圆心C在x轴上．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $D (2, 10)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 分别与直线 $x = 8$ 相交于P，Q，记 $△ O M N$ ， $△ O P Q$ 面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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19. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为BD的中点， $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，且 $V_{A - B C D} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

(1)、求三棱锥 $A - B C D$ 的高；

(2)、求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；

(3)、在棱AD上是否存在点 $E$ ，使二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $45 °$ ？若存在，并求出 $\frac{A E}{D E}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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