湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2025届高三上学期第一次调研测试数学试题

试卷更新日期：2024-11-19 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设a，b都是不等于1的正数，则“ $l o g_{a} 2 ＜ l o g_{b} 2$ ”是“ $2^{a} ＞ 2^{b} ＞ 2$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{13}}{39}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{39}$ C、 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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3. 总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

7816	6572	0802	6314	0702	4369	9728	0198
3204	9234	4935	8200	3623	4869	6938	7481

A、08 B、07 C、02 D、01

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x + 1} + 2 ， x \leq 0 ， \\ | \log_{2} x | ， x > 0 ， \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) + 3 a = 0$ 有六个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(3 ， \frac{16}{5})$ B、 $(3 ， \frac{16}{5}]$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(3 ， 4]$

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5. 已知 $y = a x + b$ 与函数 $f (x) = 2 \ln x + 5$ 和 $g (x) = x^{2} + 4$ 都相切，则不等式组 ${\begin{array}{l} x - a y + 3 \geq 0 \\ x + b y - 2 \geq 0 \end{array}$ 所确定的平面区域在 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 22 = 0$ 内的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $6 π$ D、 $12 π$

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6. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \\ \begin{matrix} y \geq 0 \end{matrix} \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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7. 要得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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8. 在 ${(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7} + {(1 - x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是（）

A、74 B、121 C、 $- 74$ D、 $- 121$

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9. 已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（）

A、 $\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{21} - \frac{x^{2}}{7} = 1$

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10. 设命题 $p$ ： $\forall a, b \in R$ ， $| a - b | < | a | + | b |$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall a, b \in R$ ， $| a - b | \geq | a | + | b |$ B、 $\exists a, b \in R$ ， $| a - b | < | a | + | b |$ C、 $\exists a, b \in R$ ， $| a - b | > | a | + | b |$ D、 $\exists a, b \in R$ ， $| a - b | \geq | a | + | b |$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 12 ， S_{5} = 90$ ，则等差数列 ${a_{n}}$ 公差 $d =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、4

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12. 在声学中，声强级 $L$ （单位： $dB$ ）由公式 $L = 101 g (\frac{I}{10^{- 12}})$ 给出，其中 $I$ 为声强（单位： ${W/m}^{2}$ ）. $L_{1} = 60 dB$ ， $L_{2} = 75 dB$ ，那么 $\frac{I_{1}}{I_{2}} =$ （）

A、 $10^{\frac{4}{5}}$ B、 $10^{- \frac{4}{5}}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $10^{- \frac{3}{2}}$

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二、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分.

13. 记等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 5}{n + 7}$ ，则 $\frac{a_{7}}{b_{7}} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x - 1$ ，若 $x ⩾ 0 ， f (x) ⩾ 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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16. 设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m∥n，则m∥α；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；
其中正确命题的序号为．

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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 1 + 2 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{matrix}$ ( $α$ 为参数)，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ .
(Ⅰ)求曲线 $C$ 的普通方程与直线 $l$ 的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $P$ ，求 $| P A | \cdot | P B |$ .

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 和通项 $a_{n}$ 满足 $2 S_{n} + a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）已知数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 3 a_{1}$ ， $b_{n + 1} = b_{n} + 1$ $(n \in N^{*})$ ，求数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，且 $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{2} + \frac{1}{2^{n - 1}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .
（1）求证：数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 是等差数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为 $t$ ； $y$ 表示全国GDP总量，表中 $z_{i} = \ln y_{i} (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ ， $\bar{z} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} z_{i}$ .
$\bar{t}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (z_{i} - \bar{z})$
3
26.474
1.903
10
209.76
14.05
（1）根据数据及统计图表，判断 $\hat{y} = b t + a$ 与 $\hat{y} = c e^{d t}$ （其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量 $y$ 关于 $t$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出 $y$ 关于 $t$ 的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据：
$n$
4
5
6
7
8
$e^{n}$ 的近似值
55
148
403
1097
2981

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21. 某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 $O$ 为圆心的半圆及直径 $A B$ 围成．在此区域内原有一个以 $O A$ 为直径、 $C$ 为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区 $C O P Q$ ，其中 $P$ 、 $Q$ 分别在半圆 $O$ 与半圆 $C$ 的圆弧上，且 $P Q$ 与半圆 $C$ 相切于点 $Q$ ．已知 $A B$ 长为40米，设 $∠ B O P$ 为 $2 θ$ ．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形 $C O P Q$ 的周长为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的表达式；
（2）要使改建成的展示区 $C O P Q$ 的面积最大，求 $\sin θ$ 的值．

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22. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 ${(\sin A - \sin B)}^{2} = \sin^{2} C - \sin A \sin B$ .
（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若 $c = 1, Δ A B C$ 的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.

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$\bar{t}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (z_{i} - \bar{z})$
3	26.474	1.903	10	209.76	14.05

$n$	4	5	6	7	8
$e^{n}$ 的近似值	55	148	403	1097	2981