2025届湖南省长沙市明德中学高三上学期11月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-11-09 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1}, B = \{x | 2^{x} \leq \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 + 2 i} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $1 + i$ D、 $3 + i$

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3. 已知 $f (x) = \frac{e^{x} \cos x}{e^{2 x} + a}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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4. $A, B, C$ 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且 $A$ 大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（）

A、18种 B、21种 C、24种 D、36种

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5. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 均为单位向量，且 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = \frac{2 π}{3}, 〈 \vec{a} + \vec{b}, \vec{c} 〉 = \frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + t \vec{c} | (t \in R)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2022}, S_{2024}, S_{2026} - 8$ 成等差数列， $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 成等比数列，则 $S_{30} =$ （）

A、900 B、600 C、450 D、300

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7. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + \cos^{4} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为10，则 $f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、1

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8. 过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上一动点P作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （r为常数且 $r \in N^{*}$ ）的两条切线，切点分别为A，B，若 $|A B| \cdot |P C|$ 的最小值是 $4 \sqrt{3}$ ，则 $r =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，记 $P (X > - 1) = a, P (1 < X < 3) = b$ ，则（）

A、 $P (X < 3) = a$ B、 $a - b = \frac{1}{2}$ C、 $E (2 X - 1) = 2 E (X)$ D、 $D (2 X - 1) = 4 D (X)$

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10. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $B B_{1}, C C_{1}$ 的中点，G是棱 $B_{1} C_{1}$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $A E F$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面为六边形 B、点G到平面 $A E F$ 的距离为定值 C、若 $\vec{A_{1} G} = x \vec{A_{1} A} + y \vec{A_{1} E} + z \vec{A_{1} D_{1}}$ ，且 $x + y + z = 1$ ，则G为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点 D、直线 $A G$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{15}}{15}, \frac{\sqrt{10}}{10}]$

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11. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}^{2} - 1}{3 a_{n} - 5}$ 且 $a_{1}^{4} - k a_{1}^{3} - k a_{1} - 1 = 0$ ，则下列说法正确的（）

A、若 $k = \frac{3}{2}$ ，则 $a_{2024} = 3$ B、若 $a_{2024} = 3$ ，则 $k = \frac{3}{2}$ C、若 $k = \frac{8}{3}$ ，则 $a_{2 n + 1} = a_{1}$ D、若 $a_{2 n + 1} = a_{1}$ ，则 $k = \frac{8}{3}$ 或 $\frac{3}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为 $3$ ，则实数 $a =$ ．

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13. 已知 $A B \subset$ 平面 $α, A C ⊥$ 平面 $α, B D ⊥ A B, B D$ 与平面 $α$ 所成的角为 $30 °$ ，且 $C$ ， $D$ 两点在平面 $α$ 的同一侧， $B D = A B = 2, A C = 3$ ，则 $C D =$ ．

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14. 已知实数x，y满足 $2 x = {(\frac{4}{3})}^{\log_{2} x} - 3^{1 + \log_{2}^{x}}, 3 y = {(\frac{4}{3})}^{\log_{3} y} - 2^{1 + \log_{3} y}$ ，则 $\frac{x}{y} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $S_{n} = a_{n + 1} - 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数， \\ \frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 2}}, n 为偶数， \end{array}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $2 c \cos C \cos B + 2 b \cos^{2} C = a$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $\frac{3}{a^{2} + b^{2} - a b} = \cos C + \cos A \cos B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D, △ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $A D = 2$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $P C$ 的长．

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18. 已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 $A (- 2, 0)$ ， $B (- 4, 3)$ 两点．

(1)、求C的方程；

(2)、设P，M，N三点在C的右支上， $B M ∥ A P$ ， $A N ∥ B P$ ，证明：
（ⅰ）存在常数 $λ$ ，满足 $\vec{O M} + \vec{O N} = λ \vec{O P}$ ；
（ⅱ） $△ M N P$ 的面积为定值．

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19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似为 $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n}}$ ，该函数满足 $f (0) = R (0), f^{'} (0) = R^{'} (0), f^{″} (0) = R^{″} (0), \dots, f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ．
注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}, f^{(3)} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}, \dots, f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$ ．
设函数 $f (x) = e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的 $[0, 1]$ 阶帕德近似为 $R (x)$ ．

(1)、求 $R (x)$ 的解析式；

(2)、证明：当 $x < 1$ 时， $f (x) \leq R (x)$ ；

(3)、设函数 $g (x) = e^{x} - \frac{1}{1 - x + k x^{2}}$ ，若 $x = 0$ 是 $g (x)$ 的极大值点，求k的取值范围．

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