广西壮族自治区南宁市青秀区南宁市第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-13 类型：期中考试

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1. 已知集合 $M = {x ∣ x > 1}$ ， $N = {x ∣ - 1 < x \leq 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x | x > 1\}$ B、 ${x | 0 < x \leq 3}$ C、 ${x | 1 < x \leq 3}$ D、 $\{1 ， 3\}$

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2. 下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a b > 0$ ， $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

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3. 下列函数是偶函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + 2 x$ B、 $f (x) = | x |$ C、 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ D、 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 3, 4)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x + 1)}{\sqrt{3 x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{3}, 3)$ B、 $(\frac{1}{3}, 4)$ C、 $(\frac{1}{3}, 5)$ D、 $(\frac{1}{3}, 6)$

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5. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 $1$ 升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）

A、消耗 $1$ 升汽油，乙车最多可行驶 $5$ 千米 B、以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C、甲车以 $80$ 千米 $/$ 小时的速度行驶 $1$ 小时，消耗10升汽油 D、某段道路机动车最高限速40千米 $/$ 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

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6. 已知 $f (\frac{1 + x}{x}) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $(x + 1)^{2} (x \neq 1)$ B、 $(x - 1)^{2}$ C、 $x^{2} - x + 1 (x \neq 1)$ D、 $x^{2} - x + 1$

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7. 已知一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0 (a, b, c \in R)$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ ，则 $b - c + \frac{1}{a}$ 的最大值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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8. 函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的单调函数且对任意的实数都有 $f (a + b) = f (a) + f (b) - 1$ ， $f (4) = 5$ ，则不等式 $f (1 - 2 m) < 3$ 的解集是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(- \frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的有（）

A、式子 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x + 2}$ 可表示自变量为 $x$ 、因变量为 $y$ 的函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有 $1$ 个 C、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 ， & x \leq 0 \\ x - 4 ， & x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (0)] =$ 4 D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$ 是同一函数

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10. 若正实数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 有最小值 $\frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a + 2 b} + \frac{1}{2 a + b}$ 有最小值 $\frac{4}{3}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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11. 一般地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ ，值域为 $[k a, k b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“ $k$ 倍美好区间” $.$ 特别地，若函数的定义域为 $[a, b]$ ，值域也为 $[a, b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“完美区间” $.$ 下列结论正确的是（）

A、 $[\frac{1}{3} ， 3]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 的“完美区间” B、若 $[2, b]$ 为 $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$ 的“完美区间”，则 $b = 6$ C、二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{13}{2}$ 存在“ $2$ 倍美好区间” D、函数 $f (x) = \frac{m | x | - 1}{| x |}$ 存在“完美区间”，则实数 $m$ 的取值范围为 $(2, + \infty) \cup \{0\}$

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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

12. 若函数 $y = f (x)$ 是偶函数，且在 $(- \infty, 0)$ 上是严格增函数，则 $f (π)$ 、 $f (- 3)$ 、 $f (- \sqrt{3})$ 的大小关系是．

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13. 已知 $p : - 2 \leq x \leq 2, q : 1 - m \leq x \leq m - 1$ ，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为.

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14. 定义 $min \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ 若函数 $f (x) = min \{x^{2} - 3 x + 3, - |x - 3| + 3\}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为；若 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域为 $[\frac{3}{4}, 2]$ ，则 $n - m$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. （1）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 2$ ，求 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值；
（2）已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，求 $y = x (1 - 2 x)$ 的最大值.

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16. 已知集合 $A = \{x ∣ 6 \leq x \leq 20\}$ ，集合 $B = \{x ∣ x \leq 2 a\}$ ，命题 $p : \exists x \in A, x \in B$ ，命题 $q : \forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x - a > 0$ ．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 和命题 $q$ 至少有一个为真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计），销售价格（元）与时间t（天）的函数关系近似满足 $f (t) = 100 (1 + \frac{1}{t})$ ，销售量（件）与时间t（天）的函数关系近似满足 $g (t) = 125 - | t - 25 |$ ．

(1)、试写出该商品的日销售金额 $w (t)$ 关于时间t（1≤ $t$ ≤30，t∈N）的函数表达式；

(2)、求该商品的日销售金额 $w (t)$ 的最大值与最小值．

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18. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (a + 3) x + 3 > 0$ 的解集为 $A$ .

(1)、若 $3 \notin A$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、集合A中有且仅有两个整数，求实数 $a$ 的取值范围；

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{4 - x^{2}}$ 是定义域为 $(- 2, 2)$ 上的奇函数，且 $a > 0$ .

(1)、求b的值，并用定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上是增函数；

(2)、若对 $\forall t \in (0, 1)$ ，都有 $f (t^{2} - m) + f (1 - t) < 0$ ，求实数 $m$ 的范围.

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