广东省深圳市龙华科技实验高级中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷

试卷更新日期：2024-11-17 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $1 \in A$ B、 ${- 1} \in A$ C、 $\emptyset \in A$ D、 $0 \in A$

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2. 设集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 1$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 1$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} < 1$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} \leq 1$

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4. 下列四组函数，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}} ， g (x) = x$ B、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}, g (x) = x$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}, g (x) = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x^{3}}, g (x) = x$

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{1 + x} + \frac{1}{x}$ 的定义域是（　　）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ D、R

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6. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a > b > 0$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 1 ， (x < 1) \\ - 2 x + 3 ， (x \geq 1) \end{matrix}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）．

A、 $- 7$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $5$

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8. 某中学高中学生运动会，一班46名学生中有15名学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（）.

A、7 B、8 C、10 D、12

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知 $a > b > c > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a - b > b - c$ C、 $\frac{b}{a - b} > \frac{c}{a - c}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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10. 已知集合 $A = {x | a x + 1 = 0, a \in R}, B = \{x |x^{2} - x - 56 = 0\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数a的值可以是（）．

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、0 D、 $- \frac{1}{8}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， - 2 \leq x < 1 \\ - x + 2 ， x \geq 1 \end{array}$ ，关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为R B、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 4]$ C、若 $f (x) = 2$ ，则x的值是 $- \sqrt{2}$ D、 $f (x) < 1$ 的解集为 $(- 1 ， 1)$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 若函数 $f (2 x + 1) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (3) =$ ．

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13. 已知函数 $y = x^{2} - 4 x + 6$ ，当 $x \in [1, 4]$ 时，则函数的值域为， $\frac{y}{x + 1}$ 的最小值是.

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14. 已知定义在 $R$ 上的运算“ $\otimes$ ”： $x \otimes y = x (1 - y)$ ，若 $a < \frac{1}{2}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $(x - a) \otimes (x + a) > 0$ 的解集为.

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四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 已知全集 $U = R ， A = [- 1 ， 3] ， B = [- 2 ， 2)$ ．
（1）求 $A \cap B ， A \cup B$ ；
（2）求 $∁_{U} (A \cap B) ， ∁_{U} (A \cup B)$ ．

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16. 解关于 $x$ 的不等式.

(1)、 $x^{2} - x - 2 \leq 0$ ；

(2)、 $\frac{x - 4}{x - 1} \leq 0$ ；

(3)、 $2 x^{2} - 5 a x + 2 a^{2} < 0$ .

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17. 已知函数 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $f (x - 1) + f (x) = 2 x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x > 0, y > 0, x + y = 1$ ，求 $f (\frac{1}{x}) + f (\frac{9}{y})$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ .

(1)、求 $f (\frac{1}{3}) + f (3), f (\frac{1}{2}) + f (2)$ 的值；

(2)、探索 $f (\frac{1}{x}) + f (x)$ ；

(3)、利用（2）中结论，求 $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2023}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (0) + f (1) + f (2) \dots + f (2023) + f (2024)$ 的值.

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19. 某服装厂拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用 $x (0 \leq x \leq 4)$ 万元满足 $m = 3 - \frac{1}{x + 1}$ ．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（此处计算每件产品年平均成本时，产品成本仅包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（利润=收入-成本）；
（2）该服装厂2021年的促销费用投入多少万元时，利润最大.

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