多组完全平方公式—人教版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-11-24 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a²+b²+c²-ab-ac-bc的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知 $a - b = 5$ ，且 $c - b = 10$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac$ 等于（）

A、105 B、100 C、75 D、50

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3. 设 $a = x - 2017$ ， $b = x - 2019$ ， $c = x - 2018$ ．若 $a^{2} + b^{2} = 34$ ，则 $c^{2}$ 的值是（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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4. △ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²＝ab+bc+ac，则△ABC是（）

A、等边三角形 B、腰底不等的等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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二、填空题

5. 已知 $a - b = b - c = \frac{3}{5} ， a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，则 $a b + b c + c a$ 的值等于．

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6. 已知 $\frac{17}{4}$ a²+10b²+ $\frac{1}{9}$ c²﹣4ab＝ $\frac{1}{3}$ a﹣2bc﹣ $\frac{1}{9}$ ，则a﹣2b+c＝.

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7. 已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a²+b²+c²-ab-ac-bc的值是．

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8. 已知 $a = \frac{1}{2023} + 2022$ ， $b = \frac{1}{2023} + 2023$ ， $c = \frac{1}{2023} + 2024$ ，则代数式 $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c)$ 的值是．

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三、综合题

9. 已知a、b、c是 $△ A B C$ 三边长，且 $a^{2} - 8 a + b^{2} - 6 b + c^{2} - 6 c + 34 = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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10. 已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三条边长，且a，b，c是正整数．

(1)、若a，b，c满足 $(x + a) (x + b) = x^{2} + 17 x + 60$ ，且 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若a，b，c满足 $a^{2} - 4 a b + 5 b^{2} - 6 b + 9 = 0$ ，且 $△ A B C$ 的周长是偶数，求c的值

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11. 利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(a - c)}^{2}]$ ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；

(1)、请你检验说明这个等式的正确性.

(2)、若 $a = 2011 ， b = 2012 ， c = 2013$ ，你能很快求出 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c$ 的值吗？

(3)、若 $a - b = \frac{3}{5} ， b - c = \frac{3}{5} ， a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，求 $a b + b c + a c$ 的值.

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12. 阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 可以利用完全平方公式，将它变形为 ${(a + b)}^{2}$ 的形式．但是对于一般的二次三项式 $x^{2} + b x + c$ 就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ ，使其凑成完全平方式，再减去 ${(\frac{b}{2})}^{2}$ ，使整个式子的值不变，这样就有 $x^{2} + b x + c = {(x + \frac{b}{2})}^{2} + m$ ．例如： $x^{2} - 6 x + 1 = x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 1 = {(x - 3)}^{2} - 8$ ．
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、将多项式 $x^{2} - 4 x + 3$ 变形为 ${(x + m)}^{2} + n$ 的形式；

(2)、当 $x, y$ 分别取何值时 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 28$ 有最小值？求出这个最小值；

(3)、若 $m = a^{2} + b^{2} - 1, n = 2 a - 4 b - 7$ ，则 $m$ 与 $n$ 的大小关系是

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