广东省广州市从化区第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x - 2 \leq 0}$ ， $B = {1, 2, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 4\}$ C、 $\{x | x \leq 2\}$ D、 $\{x | 1 \leq x \leq 2\}$

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2. 命题“ $P : \exists x \in R, x^{2} + 2 x + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 3 < 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + 3 < 0$

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3. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是（）

A、 $x < 1$ 且 $x \neq 0$ B、 $x \leq 1$ 且 $x \neq 0$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$

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4. 下列函数在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = - | x | + 1$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 在R上是奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (- 1) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、 $\pm 1$

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6. 若集合 $A = \{x| x > 0\}$ ，下列各式不是“ $a \in A$ ”的充分不必要条件的是（）

A、 $a = 2$ B、 $a > 1$ C、 $0 < a < 1$ D、 $a \geq 0$

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7. 若不等式 $a x^{2} + 2 a x - 1 < 0$ 的解集为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < a < 0$ B、 $- 1 \leq a < 0$ C、 $- 1 \leq a \leq 0$ D、 $- 1 < a \leq 0$

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8. 高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设 $x \in R$ ，用符号 $[x]$ 表示不大于x的最大整数，如 $[1.6] = 1, [- 1.6] = - 2$ ，称函数 $f (x) = [x]$ 叫做高斯函数．给出下列关于高斯函数的说法：① $f (- 3) = - 3$ ②若 $f (a) = f (b)$ ，则 $| a - b | < 1$ ③函数 $y = f (x) - x$ 的值域是 $[- 1, 0)$ ④函数 $y = x f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增．其中错误说法的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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二、多选题

9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ $=$ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ $<$ ”和“ $>$ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远 $.$ 对于实数 $a, b, c$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a > 0 > b$ ，则 $a b < a^{2}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b, c > d$ ，则 $a - d > b - c$

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10. 下列各组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一函数的有（）

A、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$ B、 $f (x) = 2 x$ ， $g (t) = 2 t$ C、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ ， $g (x) = x$ D、 $f (x) = x |x|$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} x^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{matrix}$

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11. 若关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0 (a, b, c \in R)$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 3}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $b c > 0$ C、 $a + b = 0$ D、 $a - b + c > 0$

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三、填空题

12. 已知幂函数 $y = (m^{2} - m + 1) x^{m + 1}$ 的图像关于 $y$ 轴对称，则 $m =$ .

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13. 已知 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x^{2} - 5 (x < 0) \\ f (x - 3) (x \geq 0) \end{matrix}$ ，则 $f (10) =$ .

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14. 已知 $x > 1$ ，求 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值，求 $\sqrt{x (4 - x)}$ 的最大值.

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四、解答题

15. 设全集 $U = R$ ，已知集合 $A = \{x |2 \leq x < 5\}$ ，集合 $B = \{x |3 \leq x < 7\}$ .求：

(1)、 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ .

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16. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | 1 \leq x \leq 5\}$ ，集合 $B = {x | - 1 - 2 a \leq x \leq a - 2}$ ．

(1)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题“ $\forall x \in B$ ，则 $x \in A$ ”是真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断当 $x \in (- 1, 1)$ 时函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明.

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18. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元， $f (x) =$ $\{\begin{array}{l} 5 x^{2} + 50 x + 500, 0 < x < 40, 100 x \in N, \\ 301 x + \frac{2500}{x} - 3000, x \geq 40, 100 x \in N . \end{array}$ 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.

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19. 已知 $f (x) = 2 x^{2} + a x + b$ 过点 $(0, - 1)$ ，且满足 $f (- 1) = f (2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及简图；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[m, m + 2]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, 3]$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $y = f (x)$ 的不动点，函数 $g (x) = f (x) - a x + a$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值.

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