广东省天天向上联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷

试卷更新日期：2024-11-15 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知倾斜角为 $θ$ 的直线 $l$ 与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $t a n θ =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0$ 被 $x$ 轴所截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

查看试题解析
3. 已知直线 $l$ 过定点 $A (1, 2, 3)$ ，向量 $\vec{n} = (1, 0, 1)$ 为其一个方向向量，则点 $P (4, 3, 2)$ 到直线 $l$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $5 \sqrt{2}$

查看试题解析
4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2} (2, 0)$ ，点P为双曲线右支上的一点，且 $|F_{1} F_{2}| = 2 |P F_{2}|, △ P F_{1} F_{2}$ 的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

查看试题解析
5. 下列说法正确的有（）个
①若三点在一条直线上， $A (- 2, 12)$ ， $B (1, 3)$ ， $C (4, m)$ ，则 $m = 2$ .
②过点 $(1, 2)$ ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 $l$ 的方程为 $x - y + 1 = 0$ .
③圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ， $P (x_{0}, y_{0})$ 为圆 $C$ 上任意一点， $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 的最大值为5.
④圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 a x + 2 y + a^{2} = 0$ 与圆 $C_{2} : {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ 外切，则实数 $a$ 的值为1.

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
6. 如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点， $\overset{⇀}{F M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{M A}$ ，则线段OM的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{21}$

查看试题解析
7. 已知 $A (- 1, 0), B (0, 2)$ ，直线 $l : 2 x - 2 a y + 3 + a = 0$ 上存在点 $P$ ，满足 $| P A | + | P B | = \sqrt{5}$ ，则 $l$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ B、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $(0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

查看试题解析
8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点， $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $| P O | =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{2}$

查看试题解析

二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的德6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1, m)$ ， $\vec{b} = (- 2, m - 1, 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = 2$ ，则 $m = \pm \sqrt{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = - 1$ C、不存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} = (- 1, - 2, - 2)$

查看试题解析
10. 下列结论正确的有（）

A、直线 $y = 2 x$ 关于 $y = x + 1$ 对称的直线为 $x - 2 y + 3 = 0$ B、若一直线的方向向量为 $(\sqrt{3}, 3)$ ，则此直线倾斜角为60° C、若直线 $x + a y + 1 = 0$ 与直线 $x - 2 y + a = 0$ 垂直，则 $a = \frac{1}{2}$ D、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有不同的焦点.

查看试题解析
11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E 、 F 、 G 、 M 、 N$ 均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（）

A、 $P$ 在 $B C$ 中点时，平面 $P E F ⊥$ 平面 $G M N$ B、异面直线 $E F 、 G N$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ C、 $E 、 F 、 G 、 M 、 N$ 在同一个球面上 D、 $\vec{A_{1} P} = t \vec{A_{1} A} + \vec{A_{1} M} - 2 t \vec{A_{1} B_{1}}$ ，则 $P$ 点轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ， $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 3)$ ，则实数 $m =$ .

查看试题解析
13. 设 $a \in R$ ，若直线 $2 x + y - 3 = 0$ 与直线 $2 x + y + a = 0$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，则 $a$ 的值为．

查看试题解析
14. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点是 $F$ ，直线 $y = k x$ 交椭圆于 $A, B$ 两点﹐直线 $A F$ 与椭圆的另一个交点为 $C$ ，若 $\frac{|O A|}{|O F|} = \frac{|A F|}{2 |C F|} = 1$ ，则椭圆的离心率为．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15. 如图，在棱长为6的正四面体 $O - A B C$ 中， $2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，点E为AD的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ：

(2)、求OE的长.

查看试题解析
16. 已知直线 $l : (2 + m) x + (m - 1) y - 3 m = 0 (m \in R)$ .

(1)、求原点到直线l距离的最大值：

(2)、若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当 $△ A B O$ 面积最小时，求对应的直线l的方程.

查看试题解析
17. 已知圆C过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (0, 6)$ .并且圆心在直线 $y - 2 = 0$ 上，点 $P (4, 8)$ ，过点P作圆C的切线l.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、求切线l的方程.

查看试题解析
18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $M$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上一点.

(1)、求证： $B M ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、若直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C M$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，求点 $A_{1}$ 到平面 $B C M$ 的距离.

查看试题解析
19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{2} (1, 0)$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过坐标原点 $O$ 的两条直线 $E F, M N$ 分别与椭圆C交于 $E, F, M, N$ 四点，且直线 $O E, O M$ 斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求证：四边形 $E M F N$ 的面积为定值.

查看试题解析