2025高考一轮复习（人教A版）第十五讲三角恒等变换

试卷更新日期：2024-11-22 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{3} ， c o s α s i n β = \frac{1}{6}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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2. 若 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} = \frac{2 \tan 3 α}{1 - \tan^{2} 3 α}$ ，则 $α$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{π}{12}$ B、 $- \frac{π}{20}$ C、 $\frac{π}{10}$ D、 $\frac{π}{5}$

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3. 我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则 $cos α cos (π - β) =$ （）

A、 $cos 18^{\circ}$ B、 ${cos}^{2} 36^{\circ}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，则 $\frac{S}{a^{2} + 4 b c}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{16}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{9 \sqrt{15}}{16}$ D、 $\frac{9 \sqrt{15}}{32}$

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5. 将方程 $\sin x \cos x + \sqrt{3} \sin^{2} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的所有正数解从小到大组成数列 $\{x_{n}\}$ ，记 $a_{n} = \cos (x_{n + 1} - x_{n})$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot a_{2025}$ =（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$

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6. 已知 $\vec{a} = (\sin α, 1 - 4 \cos 2 α)$ ， $\vec{b} = (1, 3 \sin α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $- \frac{2}{7}$

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7. 函数 $f (x) = \cos x - \sqrt{3} \sin 2 x$ 在 $[0, \frac{13 π}{6}]$ 上的零点个数为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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二、多项选择题

8. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (cos α, sin α)$ ， $B (cos β, sin β)$ ， $C (cos \frac{α + β}{2}, sin \frac{α + β}{2})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} |$ B、 $| \vec{A C} | = | \vec{B C} |$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = cos \frac{α - β}{2}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2 \vec{O A} \cdot \vec{O C}$

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9. 已知 $\sin (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{9}$ C、 $\cos (α + \frac{5 π}{6}) = - \frac{2}{3}$ D、若 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{5}}{6}$

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三、填空题

四、解答题

10. 已知 $α, β$ 为锐角， $tan α = \frac{4}{3}, cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos 2 α$ 与 $tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $tan (α - β)$ 的值.

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11. 已知函数 $f (x) = \sin^{4} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{4} x + a$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $3$ ．

(1)、求常数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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2025高考一轮复习（人教A版）第十五讲 三角恒等变换

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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