广东省高州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-16 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |5 - 2 x < 1\}$ ， $B = \{- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1 ， 2 ， 3 ， 4\}$ B、 $\{2, 3, 4\}$ C、 $\{4\}$ D、 $\{3 ， 4\}$

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2. “ $a > b > 0$ ”是“ $a + b > - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $[- 3, 3]$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- 3, 1) \cup (1, 3)$ D、 $[- 3, 1) \cup (1, 3]$

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4. 若函数 $f (x) = a x^{2} + (2 b + a) x - a + b$ 是定义在 $[2 a ， 2 - a]$ 上的偶函数，则 $a - b =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、3 D、2

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5. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上递增，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、 $- 1$ C、2 D、2或 $- 1$

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6. 下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ 与 $g (x) = x - 1$ C、 $f (x) = 1$ 与 $g (x) = x^{0}$ D、 $f (x) = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ 与 $g (x) = x$

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7. 若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{a}{x}, x > 1, \\ (2 - a) x + 3, x \leq 1 \end{matrix}$ 在R上为减函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(2, \frac{5}{2}]$ B、 $(0, \frac{5}{2}]$ C、 $[\frac{5}{2}, + \infty)$ D、 $\emptyset$

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8. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足： $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则称该函数为满足约束条件 $K$ 的一个“ $K$ 函数”，有下列函数：① $f (x) = x + 1$ ；② $f (x) = - x^{3}$ ；③ $f (x) = \frac{1}{x}$ ；④ $f (x) = x |x|$ ，其中为“ $K$ 函数”的是

A、① B、② C、③ D、④

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 对于实数 $a, b, c$ ，下列命题为假命题的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ . B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ . C、若 $a < b < 0$ 则 $a^{2} > a b > b^{2}$ . D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ .

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10. 已知函数 $f (\sqrt{x} + 1) = 2 x + \sqrt{x} - 1$ ，则（）

A、 $f (3) = 9$ B、 $f (x) = 2 x^{2} - 3 x (x \geq 0)$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $-$ 1 D、 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有1个交点

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11. 已知关于x的不等式 $(2 a + 3 m) x^{2} - (b - 3 m) x - 1 > 0 (a > 0, b > 0)$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 a + b = 1$ B、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为4 D、 $\frac{2}{a + 1} + \frac{1}{a + b}$ 的最小值为 $\sqrt{2} + \frac{3}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 命题 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 3 x - 4 \leq 0$ 的否定是．

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13. 函数 $y = x^{2} - 3 |x| + 1$ 的单调递减区间为.

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14. 定义在R上的 $f (x)$ ，在 $[0, + \infty)$ 上增函数，且 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (2) = 1$ ，则不等式 $f (x) + f (- 2) > 2$ 的解集为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $a \in R$ ，集合 $A = \{x |a - 1 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ， $B = \{x |- 3 \leq x \leq 3\}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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16. 为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表.经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产 $x ($ 单位：千只)手表，需另投入可变成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 80 x + 200 ， 0 < x < 50 ， \\ 201 x + \frac{6400}{x} - 5200 ， x \geq 50 . \end{array}$ 由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(利润 $=$ 销售额 - 固定成本 - 可变成本)

(1)、求2024年的利润 $W (x)$ (单位：万元) 关于年产量 $x$ (单位：千只) 的函数关系式.

(2)、2024年的年产量为多少 (单位：千只)时，企业所获利润最大? 最大利润是多少?

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17. 定义在R上的函数 $f (x) = a - \frac{a + 1}{x^{2} + 1}$ 满足 $f (1) = 0$ .

(1)、求 $a$ 值，并判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断并用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、解不等式 $f (3 x - 1) > f (x + 2)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = x + 1, g (x) = x^{2} - 1$ .

(1)、若 $a \in R$ ，求不等式 $a f (x) + g (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $b \leq 3$ ，对 $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [4, 5]$ ，使得 $b f (x_{1}) + f (x_{2}) = g (x_{1}) + b + 8$ 成立，求 $b$ 的取值范围.

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19. 对于定义域为 $I$ 的函数 $f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq I$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上是单调函数.且函数 $y = f (x)$ ， $x \in [m, n]$ 的值域是 $[m, n]$ ，则称区间 $[m, n]$ 是函数 $f (x)$ 的一个“优美区间”.

(1)、求证： $[0, 1]$ 是函数 $f (x) = x^{2}$ 的一个“优美区间”；

(2)、如果函数 $f (x) = x^{2} + a$ 在 $[0, + \infty)$ 上存在“优美区间”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、如果 $[m, n]$ 是函数 $f (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \neq 0)$ 的一个“优美区间”，求 $n - m$ 的最大值．

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