广东省佛山市顺德区广东顺德德胜学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = \{y| - 3 \leq y \leq 3\}$ ， $B = \{x| x \geq - 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 3, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- 3, 3]$ D、 $[- 3, 3]$

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2. 命题“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $\sqrt{x^{2} + 4} \geq 6$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $\sqrt{x^{2} + 4} \leq 6$ B、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，有 $\sqrt{x^{2} + 4} \leq 6$ C、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $\sqrt{x^{2} + 4} < 6$ D、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，有 $\sqrt{x^{2} + 4} < 6$

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3. “ $x = 2$ ”是“ $x^{2} - 4 = 0$ ”的（）条件．

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、即不充分也不必要

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4. 已知 $x > - 1$ ，则 $4 x + \frac{1}{x + 1}$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、0 C、4 D、8

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5. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数是（　　）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x$ D、 $y = \sqrt[3]{x}$

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6. 函数 $y = \sqrt{x + 4} + \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $(- 4, + \infty)$ C、 $[- 4, 0) \cup (0, + \infty)$ D、 $[- 4, 1) \cup (1, + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 1, x \leq 0 \\ \frac{1}{x} - 10, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (\frac{1}{10})) =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{(2 m + 3) x^{2} + 2 m x + 1}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2}, 3]$ B、 $[- 1, 3]$ C、 $[- \frac{3}{2}, 1] \cup (3, + \infty)$ D、 $[- \infty, - 1]\cup[3, + \infty)$

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二、多选题

9. 下列选项中两个函数相等的有（）

A、f(x)=|x|，g(x)= $\sqrt{x^{2}}$ B、f(x)=|x|，g(x)= ${(\sqrt{x})}^{2}$ C、f(x)= $\frac{x}{x}$ ，g(x)=1 D、f(x)=x²+2x+1，g(t)=(t+1)²

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10. 实数 $a, b, c, d$ 满足： $a > b > 0 > c > d$ ，则下列不等式不成立的是（）

A、 $c^{2} < c d$ B、 $a d < b c$ C、 $a - c < b - d$ D、 $\frac{c}{a} > \frac{d}{b}$

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 ${x | x \leq 3$ 或 $x \geq 4}$ ，则下列结论中，正确结论的序号是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c < 0$ 的解集为 ${x | x < - 4}$ C、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}}$ D、 $a + b + c > 0$

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三、填空题

12. 已知集合 $P = \{1, a\}, Q = \{- 1, b\}$ ，且 $P = Q$ ，则 $a + b =$ .

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13. 设 $x \in [- 2, 3]$ ，则函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ 的值域是.

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 9, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数a的取值范围为.

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四、解答题

15. 设集合 $U = \{x |x \leq 5\} ， A = \{x |1 \leq x \leq 5\} ， B = \{x |- 1 \leq x < 4\}$ .求：

(1)、 $A \cap B, ∁_{U} A, ∁_{U} B$ ；

(2)、 $(∁_{U} A) \cup B, (∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ ．

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16. （1）若 $x \in R$ ，试比较 $3 x^{2} + 6 x$ 与 $4 x^{2} - 2 x + 16$ 的大小；
（2）已知 $1 \leq a + b \leq 4$ ， $- 1 \leq a - b \leq 2$ ，求 $4 a - 2 b$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} - 1}$ 是定义域 $(- 1, 1)$ 上的奇函数.
（1）确定 $f (x)$ 的解析式；
（2）用定义证明： $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是减函数；
（3）解不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ .

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18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知 $A B = 3$ 米， $A D = 2$ 米．

(1)、要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

(2)、当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

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19. 设函数 $f (x) = a x^{2} - a x + 1$ ．

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \in R$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2 - x$ 的解集；

(3)、对于任意的 $x \geq 1$ ，不等式 $f (x) \geq x + 1 - 4 a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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