广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-20 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1. 如图，直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 经过点 $A (2, 5)$ 和 $B (- 1, m)$ 的直线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $m =$ （）

A、3.5 B、8 C、-2 D、2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 3, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0, 3)$ ， $\vec{c} = (0, 0, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) =$ （）

A、12 B、-12 C、9 D、-9

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4. 已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (5, - 2)$ 三点，则 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上的高线所在直线的斜率是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、3

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5. 袋子中有 $5$ 个大小质地完全相同的球，其中 $2$ 个红球、 $3$ 个黄球，从中有放回地依次随机摸出 $2$ 个球，那么这 $2$ 个球同色的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{13}{25}$

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6. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $O$ 是 $B D_{1}$ 与 $B_{1} D$ 的交点，以 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则直线 $O A_{1}$ 的一个方向向量为（）

A、 $\frac{1}{2} (- \vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C C_{1} = 2$ ， $M$ 在 $A B$ 上．以 $D$ 为原点， $D A$ ， $D C$ ， $D D_{1}$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面 $M C A_{1}$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, 2, 1)$ ，则 $\frac{A M}{M B} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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8. 将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9. 若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不可能共面 B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、对空间任一向量 $\vec{p}$ ，总存在有序实数组 $(x, y, z)$ ，使 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ 一定能构成空间的一个基底

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10. 设样本空间 $Ω = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点，且 $A = \{a, b\}$ ， $B = \{a, c\}$ ， $C = \{a, d\}$ ．则下列结论正确的有（）

A、 $P (A B) = P (A) P (B)$ B、 $P (A C) = P (A) P (C)$ C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (B C) = P (B) P (C)$

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11. （多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量是 $(- 2, - 1, 0)$ D、平面ABC的一个法向量是 $(1, - 2, 5)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 4)$ 和 $Q (- 1, - 2)$ ，且方向向量 $\vec{v} = (1, k)$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.9$ ，则 $P (A B) =$ ， $P (A \cup B) =$ ．

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14. 如图，两条异面直线 $a$ ， $b$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，在直线 $a$ ， $b$ 上分别取点 $A^{'}$ ， $E$ 和 $A$ ， $F$ ，使 $A A^{'} ⊥ a$ ，且 $A A^{'} ⊥ b$ ．已知 $A F = 2$ ， $A^{'} E = 1$ ， $E F = 3$ ，则公垂线段 $A A^{'}$ 的长为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知： $\vec{a} = (x, 4, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, y, - 1)$ ， $\vec{c} = (3, - 2, z)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，求：

(1)、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ；

(2)、 $cos ⟨\vec{a} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}⟩$

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16. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2$ ， $C C_{2} = 3$ ．

(1)、证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ ；

(2)、点 $P$ 在线段 $B_{1} B_{2}$ 上，当 $B_{2} P = 1$ 时，求平面 $P A_{2} C_{2}$ 与平面 $D_{2} A_{2} C_{2}$ 的夹角的余弦值．

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17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．

(1)、写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；

(2)、求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．

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18. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 上一点．

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ B M$ ；

(2)、若 $M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，求点 $A_{1}$ 到平面 $B D M$ 的距离；

(3)、在棱 $A_{1} D_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D M$ ，若存在，指出点 $M$ 的位置，若不存在，说明理由．

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19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出 $3$ 道题，编号为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ ，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得 $5$ 分，每答错一道题目扣 $3$ 分；
②选手若答对第 $T_{i}$ 题，则继续作答第 $T_{i + 1}$ 题；选手若答错第 $T_{i}$ 题，则失去第 $T_{i + 1}$ 题的答题机会，从第 $T_{i + 2}$ 题开始继续答题；直到 $3$ 道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为 $0$ 分，若挑战结束后，累计得分不低于 $7$ 分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对 $2$ 道题的概率 $P_{1}$ ；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了 $2$ 道题的概率 $P_{2}$ ；
（3）选手甲闯关成功的概率 $P_{3}$ ．

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