湖南省邵东市第七中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-12 类型：期中考试

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一、单选题（共24分）

1. 命题“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} - a x + b > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - a x + b \leq 0$ B、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - a x + b > 0$ C、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - a x + b \leq 0$ D、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - a x + b \leq 0$

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2. $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x, x \geq 0 \\ - x, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、0 D、6

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3. 已知 $a \in R$ ，则“ $a > 2$ ”是“ $2 a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知全集 $A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $B = \{x \in R |x > 0\}$ .则 $A \cap B$ 等于（）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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5. 定义在 $R$ 上的增函数 $f (x)$ ，则函数 $f (|x - 2|)$ 的单调减区间是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, - 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $R$

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6. 若集合 $A = {x \in R || x - 4 | ⩽ 2}$ ，集合 $B = {x \in R | 2 a ⩽ x ⩽ a + 3}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数a的取值范围是.

A、 $\{a |a > 3\}$ B、 $\{a |a \geq 1\}$ C、 $\{a |1 < a < 3\}$ D、 $\{a |1 \leq a \leq 3\}$

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7. 下列说法中正确的是

A、“ $x > 5$ ”是“ $x > 3$ ”的必要条件 B、命题“ $\forall x \in R, x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ ” C、 $\exists m \in R$ 使函数 $f (x) = x^{2} + m x (x \in R)$ 是奇函数 D、设 $p, q$ 是简单命题，若 $p \lor q$ 是真命题，则 $p \land q$ 也是真命题

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8. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - x + 1, x \geq 1 \end{array}$ 是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{7}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{7}] \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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二、多选题（共15分）

9. 下列结论正确的是（）

A、 $\emptyset \cap A = \emptyset$ B、 $\{x \in R |- 1 \leq x \leq 1\} = \{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{y |y = \frac{1}{x}\} = \{z |z = \frac{1}{t}\}$ D、 $\{(x, y) \{y = x\} \cap \{(x, y) |y = x^{2}\} = \emptyset$

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10. 下列命题正确的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 B、 $y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 C、若 $a > 0$ ，且 $a^{2} - b + 4 = 0$ ，则 $\frac{a}{a + b}$ 的最大值为 $\frac{1}{5}$ D、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y + x y - 3 = 0$ ，则 $x + y$ 最小值为2

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11. 设正实数 $m ， n$ 满足 $m + n = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{m n}}{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 的最小值为2 D、 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题（共15分）

12. 已知函数f（x）=2x–3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为．

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13. 若函数 $y = x^{2} - 2 a x + 3$ 在 $x \in [1, 3]$ 上的最大值为6，则实数 $a =$ ．

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14. 已知x＞1，则函数 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为

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四、解答题（共46分）

15. 解下列一元二次不等式：

(1)、 $3 x^{2} - 7 x \leq 10$ ；

(2)、 $x^{2} - x + \frac{1}{4} < 0$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + b}{a x + 1}$ ，点 $A (1, 5)$ ， $B (2, 4)$ 是 $f (x)$ 图象上的两点.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1, 3]$ 上的最大值和最小值.

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17. 已知函数 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $f (x - 1) + f (x) = 2 x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，求函数 $g (x) = f^{2} (x) - 2 f (x) + 2$ 的解析式，并求 $g (f (2))$ 的值.

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18. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500 $m^{3}$ ，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元．

(1)、若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式．

(2)、当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？

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