云南省保山市隆阳区2024-2025学年高三上学期期中课堂教学反馈数学试题

试卷更新日期：2024-11-10 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合 $A = {x ∣ x < 2}, B = {x ∣ - 2 < x < 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ x < 3}$ B、 ${x ∣ x < 2}$ C、 $\{x ∣ x > - 2\}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = 2 - 4 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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3. 某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩 $X$ 服从正态分布 $N (70, 10^{2})$ ，则抽测成绩在 $[80, 90]$ 内的学生人数大约为（）（若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < ξ < μ + δ) = 0.6827, P (μ - 2 δ < ξ < μ + 2 δ) = 0.9545$ ）

A、6828 B、5436 C、4773 D、2718

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4. 声音的等级 $f (x)$ (单位：dB)与声音强度x(单位： $ω / m^{2}$ )满足 $f (x) = 10 \times \lg \frac{x}{10^{- 12}}$ . 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB. 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 $10^{8}$ 倍，则一般说话时声音的等级约为（）

A、120dB B、100dB C、80dB D、60dB

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5. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的两个单位向量，若向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 已知某圆台上､下底面半径（单位： $cm$ ）分别为1和4，高（单位 $: cm$ ）为3，则该圆台的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）是（）

A、 $\frac{17 π}{3}$ B、 $7 π$ C、 $21 π$ D、 $39 π$

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7. 已知函数 $f (x) = ln (a x + 3)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 \leq a < 0$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $a < 0$ D、 $a \geq - 1$

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8. 我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则 $cos α cos (π - β) =$ （）

A、 $cos 18^{\circ}$ B、 ${cos}^{2} 36^{\circ}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 将函数 $f (x) = 2 sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的（）

A、 $g (x) = - 2 cos 2 x$ B、 $g (x)$ 的最大值为 $2$ ，图象关于直线 $x = - \frac{3 π}{2}$ 对称 C、 $g (x)$ 在 $(- \frac{3 π}{8}, \frac{π}{8})$ 上单调递增，为奇函数 D、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 对称

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是 $C$ 上任意一点，则（）

A、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 C、 $|P F_{1}|$ 的最小值为2 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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11. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 的图象在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为2 C、 $f (\frac{1}{x}) + f (x) = 0$ D、 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 若事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) =$ .

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13. 设 $C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ 被9除所得的余数为 $m =$ ；则 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中的常数项为.

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14. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，过点 $M (2, 0)$ 的直线 $l$ 交该双曲线 $C$ 于点 $P, Q$ ，设直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $Q B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，已知 $l ⊥ x$ 轴时， $\frac{k_{2}}{k_{1}} = - 3$ ，若点 $P$ 在双曲线右支上，则 $k_{2}$ 的取值范围是.

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四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{cos C}{c} = \frac{cos A}{3 b - a}$ .

(1)、求 $sin C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 10 \sqrt{2}$ ，且 $c = \sqrt{6} (a - b)$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 若 $P (2, 2)$ 为抛物线 $Γ : y^{2} = m x$ 上一点，过 $P$ 作两条关于 $x = 2$ 对称的直线分别另交 $Γ$ 于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点.

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程与焦点坐标；

(2)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, A B = A C = B C = A A_{1} = 1$ ， $A_{1} B = \frac{\sqrt{6}}{2}, D$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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18. 已知 $f (x) = (x + 1) e^{k x}$ ．

(1)、若 $k = 1$ ，求 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调递增区间；

(3)、证明：当 $k > 0$ 时， $\forall m ， n \in (0 ， + \infty)$ ， $f (m + n) + 1 > f (m) + f (n)$ ．

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19. 已知数列 $A : a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{t}$ （正整数 $t \geq 3$ ）的各项均为正整数，设集合 $M = \{x | x = a_{j} - a_{i}, 1 \leq i < j \leq t\}$ ，记 $M$ 中的元素个数为 $n (M)$ .

(1)、若数列 $A : 2, 5, 7, 10$ ，求集合 $M$ 及 $n (M)$ 的值；

(2)、若数列 $A$ 为等差数列，求 $n (M)$ 的值；

(3)、若数列 $A : 2, 2^{2}, \dots, 2^{t}$ ，求证： $n (M) = \frac{t (t - 1)}{2}$ .

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