广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-10 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）.

1. 已知集合 $M = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ， $N = \{- 1, 1\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{2 + i}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 如图所示，若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ B、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ C、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ D、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$

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4. 若 $a \in R$ ，则“ $a > 3$ ”是“ $a^{2} > 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 两条平行直线 $x + y + 4 = 0$ 与 $2 x + 2 y + 3 = 0$ 间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$

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6. 空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A},$ 点 $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \bar{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \bar{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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7. 一动圆与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ 外切，同时与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 60 = 0$ 内切，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{21} = 1$

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8. 如图，若 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则下列结论正确的是（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积变化. B、若 $F$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面ABCD内运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，PF长度的最小值是 $\sqrt{6}$ C、使直线AP与平面ABCD所成的角为 $45^{°}$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π + 4 \sqrt{2}$ D、当 $P$ 在线段AC上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）.

9. 下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 C、不经过原点的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (a \neq 0, b \neq 0)$ 表示 D、已知直线l过定点 $P (1, 0)$ 且与以 $A (2, - 3), B (- 3, - 2)$ 为端点的线段有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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10. 若 $P (A B) = \frac{1}{9}$ ， $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则关于事件A与B的关系正确的是（）

A、事件A与B互斥 B、事件A与B不互斥 C、事件A与B相互独立 D、事件A与B不相互独立

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x), g (x)$ 满足 $f (x - y) = g (x) g (y) + f (x) f (y)$ ，且 $g (1) = 1$ ， $g (0) = 0$ ， $g (- 1) = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f^{2} (x) + g^{2} (x) = f (0)$ B、 $f (1) = 1$ C、 $g (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）.

12. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若 $\sin θ + \cos θ = \frac{3}{5} \sqrt{5}$ ，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为．

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13. 已知幂函数 $f (x)$ 过点 $(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，若 $f (a + 1) < f (3 - 2 a)$ ，则实数a的取值范围是.

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14. 空间四边形ABCD中， $A B = 2, B C = C D = 1, A D = 3$ ，且异面直线AD与BC成 $60 °$ ，异面直线AB与CD所成角的正切值为.

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四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

15. 已知三角形 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且这些边和角的关系满足 $2 \cos A (b \cos C + c \cos B) = a$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，且 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 在如图所示的几何体中，平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A C B = 90 °$ ， $E F ∥ B C$ ， $A C = B C = \sqrt{2}$ ， $A E = E C = 1$ ．

(1)、求证：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B C E F$ ；

(2)、求三棱锥 $D - A C F$ 的体积．

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17. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和 $(- \sqrt{3}, 3)$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、若线段 $A B$ 的端点 $A (4, - 2)$ ，端点B在圆C上运动，求线段 $A B$ 的中点M的轨迹方程.

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18. 如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内， $∠ A O B = 60 °$ .
（1）若 $A B$ 过点 $M (3, \sqrt{3})$ ，当 $△ O A B$ 的面积取最小值时，求直线 $A B$ 的斜率；
（2）若 $A B = 4$ ，求 $△ O A B$ 的面积的最大值；
（3）设 $O A = a, O B = b$ ，若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 4$ ，求证：直线 $A B$ 过一定点，并求出此定点坐标.

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