2025届湖南省衡阳市衡阳县高三一模数学试题

试卷更新日期：2024-10-27 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {y | y = \lg (x^{2} - x - 2)}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x^{2} - x + 2}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $R$

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2. 复数 $z$ 满足 $z + \bar{z} = | z |$ ，则 $\frac{z}{| z |}$ 的实部为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知古典概型的样本空间 $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， “事件 $A = {1, 2}$ ”，则命题“事件 $B = Ω$ ”是命题“事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin (α + β) = \frac{5}{6}$ ， $\tan α = 4 \tan β$ ，则 $α - β =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. ${(x^{2} - \frac{1}{x} + y)}^{6}$ 的展开式中 $x y$ 的系数为（）

A、 $30$ B、 $- 30$ C、 $60$ D、 $- 60$

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6. 某城市随机选取 $n$ 个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于 $50 %$ ，则至少需要选取（）个人.

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，两焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交右支于 $A$ ， $B$ 点，且 $\vec{A B} = \frac{5}{3} \vec{A F_{2}}$ ，若 $∠ F_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $2$

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8. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，若过点 $A_{k} (\frac{k π}{2}, 0)$ ， $k \in Z$ 作斜率不为0的直线 $l_{k}$ ，使得 $l_{k}$ 与正弦曲线 $y = \sin x$ 的交点中，存在点 $P_{k}$ ， $Q_{k}$ 满足 $P_{k}$ 是线段 $A_{k} Q_{k}$ 的中点，则称 $l_{k}$ 是曲线 $y = \sin x$ 的“平均割线”， $P_{k}$ 为“平衡点”，则对任何一个整数 $k$ ，下列描述正确的是（）

A、 $k$ 为偶数时，存在“平均割线” B、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则 $l_{k}$ 唯一 C、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则所有“平衡点”共线 D、若存在“平均割线” $l_{k}$ ，则所有“平衡点” $P_{k, j} (x_{k, j}, y_{k, j})$ ， $j \in N^{+}$ 中间隔相等， ${x_{k, j}}$ 按从小到大顺序排列成等差数列

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 已知一组样本数据： $- 1, 5, a, b$ .其中 $a \leq 0$ ， $b \geq 0$ ，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（）

A、序列不可能既是等比数列又是等差数列 B、若成等比数列， $a$ 和 $b$ 有 $3$ 组可能取值 C、若成等差数列， $a$ 和 $b$ 有 $3$ 组可能取值 D、若该数据平均数是 $1$ ，则方差最小值为 $\frac{21}{4}$

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10. 按指对数运算律定义两个函数 $f (x) = x^{x} (x \in R^{+})$ 与 $g (x) = \log_{x} 2 x (x \in (1, + \infty))$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在定义域上单调递增 B、 $g (x)$ 在定义域上单调递减 C、 $\frac{3}{5} < f {(x)}_{\min} < \frac{4}{5}$ D、若存在 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{e}$

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11. $\forall x$ ， $y \in R$ ，非常数函数 $f (x)$ 都有 $f (x + y) + f (x) f (y) = f (x y + 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = - 1$ B、若 $f (2) \neq 1$ ， $f (x)$ 是偶函数 C、若 $f (2) = f (- 2) = 1$ ，则 $f (2 k + 1) = 0 (k \in Z)$ D、 $f (2)$ 的值不可能是 $3$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知三角形 $A B C$ 中， $E$ ， $F$ 是 $A C$ 上中线 $B D$ 的三等分点满足 $D E = E F = F B$ ，记 $\vec{D F} = x \vec{A B} + y \vec{C E}$ ，则 $x + y =$ .

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13. 函数 $f (x) = \sqrt{6} \sin 2 x + 2 \sin x$ 的值域为．

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14. 已知由系列圆构成的点集为 $C = {(x, y) | {(x - \cos θ)}^{2} + {(y - \sin θ)}^{2} = 4, 0 \leq θ \leq φ}$ ，图形如图中的阴影部分所示，将平面剩余部分分为内外两部分（空白区域），给出以下命题：
①图形内部空白区域的面积最小值为 $π$
②图形到原点的最小距离为 $1$
③ $φ = \frac{π}{2}$ 时，图形关于直线 $y = x$ 对称
④ $φ = \frac{π}{2}$ 时，图形内外边界的长度和为 $6 π$
其中正确的有.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B C$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = B C = A B$ ，且平面 $A B C ⊥$ 平面 $A E F$ ，求二面角 $B - A C - C_{1}$ 的余弦值大小.

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16. 已知函数 $f (x) = \sin x - a \ln (b + x)$

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线方程为 $2 x + y + 2 π (\ln 2 π - 1) = 0$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $b = 1$ 时，在 $(- 1, \frac{π}{2}]$ 上 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

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17. 如图，已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $D$ 是负半轴上的一点， $| D O | = 2$ ，过点 $D$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于点 $A$ 与点 $B$ .

(1)、求 $△ A B F_{1}$ 面积的最大值；

(2)、设直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ 和直线 $P B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，椭圆 $E$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值，若存在，求出点 $P$ 与 $k_{1} \cdot k_{2}$ 值，若不存在，请说明理由.

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18. 学校教学楼的每两层楼之间的上下楼梯有 $15$ 个台阶，从下至上记台阶所在位置为 $1 - 15$ ，同学甲在上楼的过程中，每一步等可能地跨 $1$ 或 $2$ 个台阶（位置 $+ 1$ 或 $+ 2$ ）.

(1)、记甲迈 $3$ 步后所在的位置为 $X$ ，写出 $X$ 的分布列和期望值.

(2)、求甲 $6$ 步内到过位置 $8$ 的概率；

(3)、求 $10$ 步之内同时到过位置 $10$ 和 $12$ 的有多少种走法，及发生的概率.

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19. 某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的 $15$ 位小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第 $k$ 条切痕看作直线 $l_{k}$ ，设切 $n$ 下，最多能切出的块数为 $b_{n}$ ，如图易知 $b_{1} = 2$ ， $b_{2} = 4$ .

(1)、试写出 $b_{3}$ ， $b_{4}$ ，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的 $15$ 位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下；

(2)、这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切 $n$ 下能划分成 $n + 1$ 段，由此求出数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面.若切 $n$ 下，最多能切出的块数为 $c_{n}$ ，求出 ${c_{n}}$ 的通项公式，并指出这时最多需要切几下能分给 $15$ 个人.（已知 $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ）

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