四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题

试卷更新日期：2024-10-31 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x| {(x + 1)}^{2} \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $[- 2, 2]$

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2. “ $a c^{2} > b c^{2}$ ”，是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且满足 $x + y = x y - 3$ ，则 $x y$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、6 D、9

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4. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：
广告支出x/万元
2
5
8
11
15
19
利润y/万元
33
45
50
53
58
64
根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.65 x + \hat{a}$ ．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）

A、30万元 B、32万元 C、36万元 D、40万元

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5. 下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（）

A、 $y = x^{- 2}$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = x - sin x$ D、 $y = ln \frac{x - 1}{x + 1}$

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6. 已知 $θ$ 为第一象限角，且 $tan (θ + \frac{π}{3}) + tan θ = 0$ ，则 $\frac{1 - cos 2 θ}{1 + cos 2 θ} =$ （）

A、9 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ （e是自然对数的底数， $P_{0}$ ， k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ）

A、33h B、35h C、37h D、39h

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - 3 {(x + 1)}^{2}, x \leq 0 \\ e^{x} (x^{2} - 3), x > 0 \end{cases}, g (x) = m x$ ，若关于x的不等式 $x (f (x) - g (x)) < 0$ 的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{2}]$ B、 $(0, \frac{e^{2}}{2}]$ C、 $(- 2 e, 0]$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 6, a_{n + 1} = S_{n} + 6$ ，则（）

A、 $S_{3} = 42$ B、 $S_{n} < 2 a_{n}$ C、 $\{S_{n}\}$ 是等比数列 D、存在大于1的整数n，k，使得 $S_{n} = a_{k}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 sin \frac{ω x}{2} cos \frac{ω x}{2} - 2 \sqrt{3} {sin}^{2} \frac{ω x}{2} + \sqrt{3} (ω > 0)$ 在 $[0, π)$ 上有且仅有4个零点，则（）

A、 $ω \in (\frac{11}{3}, \frac{14}{3}]$ B、令 $g (x) = f (x + \frac{π}{6})$ ，存在 $ω$ ，使得 $g^{'} (x)$ 为偶函数 C、函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上可能有3个或4个极值点 D、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{35}, \frac{π}{35})$ 上单调递增

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x)$ 不恒为0，且 $\frac{f (x) + f (y)}{2} = f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2})$ ，则（）

A、 $f (0)$ 可以等于零 B、 $f (x)$ 的解析式可以为： $f (x) = cos 2 x$ C、曲线 $f (x - 1)$ 为轴对称图形 D、若 $f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{20} f (k) = 20$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b = 2, c = 3, cos (B + C) = - \frac{2}{3}$ ，则 $a =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = | ln| x + 2 | | - m$ ， m为正的常数，则 $f (x)$ 的零点之和为．

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14. 若 $x = 2$ 是函数 $f (x) = (x - 3) e^{x} + a (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x)$ 的极大值点，则实数a的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．

(1)、完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向
无报考意向
合计
男学生
女学生
合计

(2)、根据小概率值 $α = 0.10$ 的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
α
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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16. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $a sin C = \frac{1}{2}$ ，且 $a \cos C + c \cos A = 1$ ，

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $B = \frac{π}{4}$ ，求A．

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17. 已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 满足 $(n + 1) a_{n} = n b_{n}$ ，且 $a_{n + 1}$ 是 $b_{n}$ 与 $b_{n + 1}$ 的等比中项．

(1)、若 $a_{1} + a_{2} = 4$ ，求 $b_{1}$ 的值；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，设数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ．
（ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；
（ⅱ）求 $T_{n} - S_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x - 1$ ．

(1)、当 $a = - 5$ 时，则过点 $(0, 2)$ 的曲线 $f (x)$ 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有唯一零点，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = ln x + x^{2} - 3 x + a$ ， $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{3}{4} - ln 2$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n} a_{n + 1} = f (a_{n}) + 3 a_{n} - 1$ ，且 $a_{1} = \frac{4}{3}$ ．
（ⅰ）当 $n \geq 2, n \in Z$ 时，比较 $a_{n}$ 与1的大小，并说明理由；
（ⅱ）求证： $3 \sum_{i = 1}^{n} |1 - a_{i}| < 2$ ．

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	有报考意向	无报考意向	合计
男学生
女学生
合计

α	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

广告支出x/万元	2	5	8	11	15	19
利润y/万元	33	45	50	53	58	64