浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高二上学期期末质量调测数学试题

试卷更新日期：2024-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $l$ 经过 $A (4, 2 \sqrt{3}), B (3, \sqrt{3})$ 两点，则 $l$ 的倾斜角是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, - \frac{1}{16})$ D、 $(0, \frac{1}{16})$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 3}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{5}{11}$ D、 $- \frac{4}{7}$

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4. 已知 $E, F$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 的中点，点 $G$ 是线段 $E F$ 的中点， $P$ 为空间中任意一点，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} =$ （）

A、 $\vec{P G}$ B、 $2 \vec{P G}$ C、 $3 \vec{P G}$ D、 $4 \vec{P G}$

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5. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 k x - 4 y + k^{2} + k - 2 = 0$ 表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- 6, + \infty)$ B、 $[- 6, + \infty)$ C、 $(- \infty, 6]$ D、 $(- \infty, 6)$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $A B$ 作一垂直于 $B_{1} C$ 的平面交平面 $A D D_{1} A_{1}$ 于直线 $l$ ，动点 $M$ 在直线 $l$ 上，则直线 $B M$ 与 $C D_{1}$ 所成角余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 已知等腰直角 $△ A B C$ 的斜边 $A B = \sqrt{2}, M, N$ 分别为 $A C, A B$ 上的动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ 的位置，且平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $B C M N$ .若点 $A^{'}, B, C, M, N$ 均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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8. 设椭圆 $C$ 的两个焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于点 $P, Q$ ，若 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，且 $3 |P F_{1}| = 4 |Q F_{1}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{7}$

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二、多选题

9. 对于两条不同直线 $m, n$ 和两个不同平面 $α, β$ ，下列选项正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m // α, n // β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ 或 $m // n$ C、若 $m // α, α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ 或 $m \subset β$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n // α$ 或 $n \subset α$

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10. 已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 和圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、圆 $O_{1}$ 和圆 $O_{2}$ 有两条公切线 B、直线 $A B$ 的方程为 $x - y + 1 = 0$ C、圆 $O_{2}$ 上存在两点 $P$ 和 $Q$ 使得 $| P Q | > | A B |$ D、圆 $O_{1}$ 上的点到直线 $A B$ 的最大距离为 $2 + \sqrt{2}$

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11. 两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当 $θ < α < \frac{π}{2}$ 时，截口曲线为椭圆；当 $α = θ$ 时，截口曲线为抛物线；当 $0 < α < θ$ 时，截口曲线为双曲线．在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（）

A、若点P到直线 $C C_{1}$ 的距离与点P到平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离相等，则点P的轨迹为抛物线 B、若点P到直线 $C C_{1}$ 的距离与点P到 $A A_{1}$ 的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C、若 $∠ B D_{1} P = 45 °$ ，则点P的轨迹为抛物线 D、若 $∠ B D_{1} P = 60 °$ ，则点P的轨迹为双曲线

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12. 如图，直平面六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都为2， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 是四边形 $C C_{1} D_{1} D$ （包括边界）内，则下列结论正确的是（）

A、过点 $A_{1}, B, P$ 的截面是直角梯形 B、若直线 $A Q //$ 面 $A_{1} B P$ ，则直线 $A Q$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ C、存在点 $Q$ 使得直线 $B_{1} Q ⊥$ 面 $A_{1} B P$ D、点 $Q$ 到面 $A_{1} B P$ 的距离的最大值为 $\frac{3 \sqrt{30}}{10}$

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三、填空题

13. 经过点 $A (3, - 1)$ ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为.

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14. 设两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n}{9 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ .

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15. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 和圆 $M : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 $a =$ .

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16. 正三棱锥 $S - A B C$ ， $S A = 2 A B = 4$ ，点 $P$ 为侧棱 $S A$ 的中点， $M, N$ 分别是线段 $S B, A B$ 上的动点，则 $2 P M + M N$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 2$ .

(1)、若 $a_{3} + b_{3} = 3$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{3} = 21$ ，求 $S_{3}$ .

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18. 已知圆 $C$ 过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (1, 3)$ ，圆心在直线 $y = x - 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；

(2)、若直线 $l$ 经过点 $P (1, - 1)$ ，且 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为4，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，在三棱锥 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ BAC = 90^{\circ} ， AB = AC = 2, A A_{1} = 4, A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点，D为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.
（1）证明： $A_{1} D ⊥ 平面 A_{1} BC$ ；
（2）求直线 $A_{1} B$ 和平面 $B B_{1} C C_{1}$ 所成的角的正弦值.

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20. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $Q$ 为 $C$ 上一点且纵坐标为4， $Q P ⊥ y$ 轴于点 $P$ ，且 $|Q P| = \frac{1}{2} |Q F|$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、已知点 $M (\frac{1}{2}, - 2)$ ， $A, B$ 是抛物线 $C$ 上不同的两点，且满足 $k_{A M} + k_{B M} = - \frac{8}{5}$ .证明：直线 $A B$ 恒过定点 $(- 2, - 3)$ .

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，侧面 $Δ P A D$ 是边长为2的正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A D ⊥ B P$ ；

(2)、若点 $Q$ 为棱 $P C$ 上的动点，求平面 $A B Q$ 与平面 $P B C$ 夹角的正弦值的最小值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \sqrt{\frac{2}{3}}$ 且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q (0 ， 2)$ 的距离的最大值为3.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M (m ， n)$ ，使得直线 $l$ ： $m x + n y = 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且 $Δ O A B$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及对应的 $Δ O A B$ 的面积；若不存在，请说明理由.

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