浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-02-03 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $y = - 1$ D、 $y = 1$

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 上的点到直线 $3 x - 4 y + 9 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、5

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3. 设平面 $α$ 内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面 $α$ 内存在一点D满足 $\vec{P D} = x \vec{P A} + (2 - x)$ $\vec{P B} + 3 x \vec{P C}$ ，则x的值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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4. 已知△ABC的三个顶点分别为 $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 ， 0)$ ， $C (2 ， 0 ， 2)$ ，则BC边上的中线长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 设 ${a_{n}}$ 是公差为d的等差数列， $S_{n}$ 是其前n项和，且 $a_{1} < 0$ ， $S_{4} = S_{8}$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{7} = 0$ C、 $S_{12} = 0$ D、 $S_{n} ≥ S_{7}$

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6. 用数学归纳法证明： $f (n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n}} ≥ \frac{n + 2}{2}$ （ $n \in N^{*}$ ）的过程中，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时， $f (k + 1)$ 比 $f (k)$ 共增加了（）

A、1项 B、 $2^{k} - 1$ 项 C、 $2^{k + 1}$ 项 D、 $2^{k}$ 项

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7. 若数列 ${a_{n}}$ 满足递推关系式 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{1}{1012}$ B、 $\frac{2}{2023}$ C、 $\frac{1}{1011}$ D、 $\frac{2}{2021}$

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8. 设双曲线 $Γ$ 的中心为O，右焦点为F，点B满足 $2 \vec{F B} = \vec{O F}$ ，若在双曲线 $Γ$ 的右支上存在一点A，使得 $|O A| = |O F|$ ，且 $∠ O A B \geq 3 ∠ O B A$ ，则 $Γ$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{2 \sqrt{15} - 2}{7}, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ B、 $(1, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ C、 $(1, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$ D、 $[\frac{3 \sqrt{15} - 3}{7}, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 在R上连续且可导，且 $f' (x_{0}) \neq 0$ ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）

A、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} - Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = f' (x_{0})$ B、 $\underset{Δ h \to 0}{l i m} \frac{f (t + Δ h) - f (t - Δ h)}{2 Δ h} = f' (t)$ C、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + 3 Δ x) - f (x_{0})}{3 Δ x} = f' (x_{0})$ D、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})}{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})} = \frac{g' (x_{0})}{f' (x_{0})}$

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10. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{ln T_{n}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}\}$ 是等比数列

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11. 已知O为抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的顶点，直线l交抛物线于M ， N两点，过点M ， N分别向准线 $x = - \frac{p}{2}$ 作垂线，垂足分别为P ， Q ，则下列说法正确的是（）

A、若直线l过焦点F ，则以MN为直径的圆与y轴相切 B、若直线l过焦点F ，则 $P F ⊥ Q F$ C、若M ， N两点的纵坐标之积为 $- 8 p^{2}$ ，则直线l过定点 $(4 p ， 0)$ D、若 $O M ⊥ O N$ ，则直线l恒过点 $(2 p ， 0)$

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12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{Q C} = \vec{A D} + 2 \vec{A B} - 2 \vec{A A_{1}}$ B、若M为线段CQ上的一个动点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{B D}$ 的最小值为1 C、点F到直线CQ的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、异面直线CQ与 $A D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{17}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $f (x) = e^{s i n x}$ ，则 $f' (x) =$ ．

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14. 若平面内两定点A ， B间的距离为3，动点P满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = 2$ ，则△PAB面积的最大值为．

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15. 已知点P是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，则 $\frac{| P F |}{| P A |}$ 的最小值为．

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16. 意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ．记一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，其中 $b_{n}$ 的值为 $a_{n}$ 除以4得到的余数，则 $\sum_{i = 1}^{2024} b_{i} =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1$ ，直线l： $y = 2 x - 2$ 与x轴交于点A ．

(1)、求过点A的 $f (x)$ 的切线方程；

(2)、若点B在函数 $f (x)$ 图象上，且 $f (x)$ 在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．

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18. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）与圆C： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ 有两个不同的交点D ， E ．

(1)、求r的取值范围；

(2)、若 $r = 4$ ，求线段DE的长．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为正数的等差数列， $S_{n} = n^{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，

(1)、若 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、棱 $P D$ 上的点 $E$ 满足 $P E = 2 D E$ ，若 $P A = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意正整数n都有 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ， $b_{n} = n - {(- 1)}^{n} a_{n}$ ，（ $n \in N^{*}$ ），若 $A = {n | n ≤ 100 且 T_{n} ≤ 100 ， n \in N^{*}}$ ，求集合A中所有元素的和．

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22. 已知焦点在x轴上的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，长轴长为4，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左焦点为F ．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．

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